Álgebra

Paso 1. (a) Ambas ecuaciones tienen \(x\) e \(y\) a la primera potencia con coeficientes numéricos → lineal.

Paso 2. (b) \(x^2\) tiene exponente 2 → no lineal.

Paso 3. (c) \(\sqrt x = x^{1/2}\), exponente distinto de 1 → no lineal.

Paso 4. (d) \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\), la incógnita está en el denominador → no lineal.

Paso 5. (e) Tres incógnitas, todas de grado 1, y además es homogéneo (ambos términos independientes son 0) → lineal.

Concepto aplicado: definición de ecuación lineal. Error a evitar: mirar solo la primera ecuación y decidir por ella.

Paso 1. \(1+2+3=6\) ✔

Paso 2. \(2(1)-2+3 = 2-2+3 = 3\) ✔

Paso 3. \(3(1)+2-3 = 3+2-3 = 2\) ✔

Las tres igualdades son verdaderas, por lo tanto la terna es solución. Razonamiento: verificar es siempre más barato que resolver; si te dan una solución candidata, empezá verificando.

(a) \(\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\frac{4}{8}\): las tres proporciones coinciden → misma recta → infinitas soluciones. Se describen con un parámetro: \(y=t\), \(x=4-t\), con \(t\in\mathbb R\).

(b) \(\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\) pero \(\frac{4}{10}\neq\frac12\) → rectas paralelas distintas → sin solución. Si restás el doble de la primera a la segunda obtenés \(0=2\), una contradicción.

(c) \(\frac11\neq\frac{1}{-1}\) → se cortan. Sumando ambas: \(2x=6\Rightarrow x=3\); entonces \(y=1\).

Concepto aplicado: interpretación geométrica de las soluciones. Cómo reconocer ejercicios similares: piden «clasificar» sin pedir el valor de las incógnitas.

Paso 1. Conviene despejar \(y\) en la primera (coeficiente 1): \(y=10-3x\).

Paso 2. Sustituyo en la segunda: \(x-2(10-3x)=-6 \Rightarrow x-20+6x=-6 \Rightarrow 7x=14 \Rightarrow x=2\).

Paso 3. \(y=10-3(2)=4\).

Paso 4 · verificación. \(3(2)+4=10\) ✔; \(2-2(4)=-6\) ✔.

Error posible: escribir \(x-20-6x\) por distribuir mal el signo del \(-2\).

Paso 1. Despejo \(x\) en ambas: de la 1.ª, \(x=11-2y\); de la 2.ª, \(3x=5+y \Rightarrow x=\dfrac{5+y}{3}\).

Paso 2. Igualo: \(11-2y=\dfrac{5+y}{3}\). Multiplico por 3: \(33-6y=5+y \Rightarrow 28=7y \Rightarrow y=4\).

Paso 3. \(x=11-2(4)=3\).

Paso 4 · verificación. \(3+8=11\) ✔; \(9-4=5\) ✔.

Paso 1 · ajustar. El coeficiente de \(x\) en la segunda ecuación es \(2\), la mitad de \(4\). Multiplico toda la segunda ecuación por \(2\): \(4x-10y=-8\).

Paso 2 · restar. Ahora los coeficientes de \(x\) son iguales, así que resto: \((4x+3y)-(4x-10y)=18-(-8)\Rightarrow 13y=26\Rightarrow y=2\).

Paso 3. Sustituyo en la primera original: \(4x+3(2)=18\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3\).

Paso 4 · verificación. \(4(3)+3(2)=18\) ✔; \(2(3)-5(2)=6-10=-4\) ✔.

Errores posibles: multiplicar el lado izquierdo por 2 y olvidar el \(-4\) del derecho; o sumar en lugar de restar (los coeficientes eran iguales, no opuestos).

Sustitución. De la 2.ª: \(x=1+y\). En la 1.ª: \(2(1+y)+3y=7\Rightarrow 2+5y=7\Rightarrow y=1\Rightarrow x=2\).

Igualación. De la 1.ª: \(x=\dfrac{7-3y}{2}\); de la 2.ª: \(x=1+y\). Igualando: \(\dfrac{7-3y}{2}=1+y\Rightarrow 7-3y=2+2y\Rightarrow 5=5y\Rightarrow y=1\Rightarrow x=2\).

Eliminación. Multiplico la 2.ª por 3: \(3x-3y=3\). Sumo con la 1.ª: \(5x=10\Rightarrow x=2\); luego \(y=1\).

Verificación. \(2(2)+3(1)=7\) ✔; \(2-1=1\) ✔.

Conclusión: los tres métodos son transformaciones que conservan las soluciones; la elección es de comodidad, no de resultado.

(I) Sistema lineal de 2 ecuaciones y 3 incógnitas: todas las variables aparecen a la primera potencia y solo multiplicadas por números.

(II) Sistema lineal de 2 ecuaciones y 2 incógnitas.

(III) No es lineal: \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), y en una ecuación lineal el exponente de cada incógnita debe ser exactamente 1. Que la segunda ecuación sea lineal no salva al sistema.

(IV) No es lineal: el término \(x^{2}\) es de grado 2.

Concepto aplicado: definición de ecuación lineal (grado 1 en cada incógnita, sin productos entre ellas, sin raíces, sin incógnitas en denominadores ni dentro de funciones).

Cómo justificarlo algebraicamente: comparando \(\frac{a_1}{a_2}\), \(\frac{b_1}{b_2}\) y \(\frac{c_1}{c_2}\) (ver sección 1.3).

a) Qué aporta la gráfica. Muestra de un vistazo el tipo de sistema: si las rectas se cortan, son paralelas o coinciden. Permite ver la solución como un objeto geométrico (un punto de intersección), da una idea aproximada de dónde está esa solución, y ayuda a interpretar el problema (por ejemplo, si la intersección cae en una zona con valores negativos que el contexto no admite).

b) Ventajas de los métodos algebraicos.

• Exactitud: dan el valor exacto (incluso fraccionario o irracional); en un gráfico solo se lee un valor aproximado.
• Escalabilidad: funcionan con 3, 10 o 500 incógnitas, donde el gráfico ya es imposible (no hay ejes para más de tres dimensiones).
• Confiabilidad: no dependen de la escala del dibujo ni del pulso: dos rectas casi paralelas se ven iguales en un gráfico y son distinguibles algebraicamente.
• Automatización: el procedimiento es sistemático y se puede programar (lo que hace cualquier software de cálculo).

Conclusión equilibrada: lo gráfico da intuición, lo algebraico da precisión. En la práctica se usan juntos.

En negrita, las celdas que estaban vacías en el enunciado.

Justificación general: con menos ecuaciones que incógnitas «sobran grados de libertad» → infinitas soluciones; con más ecuaciones que incógnitas «sobran condiciones» → lo esperable es que no haya solución. Las excepciones ocurren cuando alguna ecuación repite información de las otras.

(a) De \(x-y=1\) despejo \(x=1+y\) (coeficiente 1, no aparecen fracciones). Sustituyo: \(2(1+y)+3y=7\Rightarrow 2+2y+3y=7\Rightarrow 5y=5\Rightarrow y=1\). Entonces \(x=1+1=2\).
Verificación: \(2(2)+3(1)=7\) ✔, \(2-1=1\) ✔.

(b) De \(2x-y=4\) despejo \(y=2x-4\). Sustituyo en la primera: \(4x-2(2x-4)=8\Rightarrow 4x-4x+8=8\Rightarrow 8=8\). Igualdad verdadera trivial → infinitas soluciones. Conjunto solución: \(\{(t,\,2t-4):t\in\mathbb{R}\}\). Ejemplos concretos: \((0,-4)\), \((2,0)\), \((3,2)\).

(c) De \(3x-2y=6\) despejo \(x=\dfrac{6+2y}{3}\). Sustituyo en la segunda: \(6\cdot\dfrac{6+2y}{3}-4y=10\Rightarrow 2(6+2y)-4y=10\Rightarrow 12+4y-4y=10\Rightarrow 12=10\). Contradicción → sistema incompatible, sin solución. Geométricamente son dos rectas paralelas (misma pendiente \(3/2\), distinta ordenada).

2a) ¿Qué variable despejar? La que tenga coeficiente \(1\) o \(-1\), para evitar fracciones. En (a) fue \(x\) en la segunda ecuación; en (b), \(y\) en la segunda.

2b) Ventajas: es intuitivo, no requiere «preparar» las ecuaciones, y funciona siempre; es muy cómodo cuando alguna variable ya viene despejada o casi.

2c) Dificultades: si todos los coeficientes son distintos de \(\pm1\) aparecen fracciones que complican; con tres o más incógnitas el arrastre de expresiones se vuelve largo y propenso a errores de signo.

(a) Despejo \(x\) en ambas: \(x=\dfrac{7-3y}{2}\) y \(x=1+y\). Igualo: \(\dfrac{7-3y}{2}=1+y\Rightarrow 7-3y=2+2y\Rightarrow 5=5y\Rightarrow y=1\Rightarrow x=2\).

(b) Despejo \(y\) en ambas: de la 1.ª, \(y=\dfrac{4x-8}{2}=2x-4\); de la 2.ª, \(y=2x-4\). Al igualar queda \(2x-4=2x-4\Rightarrow 0=0\): las dos ecuaciones son la misma recta → infinitas soluciones.

(c) De la 1.ª: \(y=\dfrac{3x-6}{2}\); de la 2.ª: \(y=\dfrac{6x-10}{4}=\dfrac{3x-5}{2}\). Igualando: \(\dfrac{3x-6}{2}=\dfrac{3x-5}{2}\Rightarrow 3x-6=3x-5\Rightarrow -6=-5\). Contradicción → incompatible.

2a) ¿Coinciden? Sí. Y tienen que coincidir: los métodos son transformaciones que conservan el conjunto de soluciones, no procedimientos distintos con respuestas distintas.

2b) Ventajas: es muy claro cuando la misma variable se despeja fácil en ambas ecuaciones, y hace muy visible el caso indeterminado (queda una identidad) y el incompatible (queda un absurdo).

2c) Dificultades: obliga a dos despejes en lugar de uno, y suele generar fracciones en ambos lados; con más de dos ecuaciones se vuelve poco práctico.

(a) Multiplico la segunda por 3 para que el coeficiente de \(y\) sea \(-3\), opuesto al \(+3\) de la primera: \(3x-3y=3\). Sumo con \(2x+3y=7\): \(5x=10\Rightarrow x=2\); luego \(2-y=1\Rightarrow y=1\).

(b) Multiplico la segunda por 2: \(4x-2y=8\), que es exactamente la primera. Al restar: \(0=0\) → infinitas soluciones, \(\{(t,2t-4)\}\).

(c) Multiplico la primera por 2: \(6x-4y=12\). Resto la segunda (\(6x-4y=10\)): \(0=2\) → contradicción → incompatible.

2a) ¿Qué hice para eliminar? Igualé (o volví opuestos) los coeficientes de una incógnita multiplicando una ecuación completa por una constante distinta de cero, y después sumé o resté.

2b) ¿Coinciden con los métodos anteriores? Sí, en los tres casos.

2c) Ventajas: no genera fracciones si se eligen bien los multiplicadores, es el más rápido cuando los coeficientes son múltiplos, se generaliza a cualquier cantidad de ecuaciones e incógnitas y es la base del método de Gauss del Módulo 2.

2d) Dificultades: hay que elegir bien los factores y cuidar los signos al sumar o restar; conviene anotar la operación realizada al costado de cada fila.

2e) ¿Más rápido o más complejo? Para sistemas 2×2 con coeficientes chicos suele ser el más rápido; su ventaja real se nota con 3 o más incógnitas, donde sustitución e igualación se vuelven engorrosas.

a) Sistema. \(\begin{cases}x+2y=6 & \text{(instructores)}\\ x+y=4 & \text{(salas)}\end{cases}\)

b) Qué representa cada cosa. \(x\) = cantidad de clases de yoga; \(y\) = cantidad de clases de spinning. La primera ecuación dice que el total de instructores usados (1 por clase de yoga + 2 por clase de spinning) es 6. La segunda, que el total de salas usadas (1 por cada clase) es 4.

c) Resolución (eliminación). Resto la segunda a la primera: \((x+2y)-(x+y)=6-4\Rightarrow y=2\). Sustituyo en \(x+y=4\): \(x=2\).

Verificación. Instructores: \(2+2(2)=6\) ✔. Salas: \(2+2=4\) ✔.

Interpretación. Se pueden dictar 2 clases de yoga y 2 de spinning usando exactamente todos los recursos.

¿Podrían ser negativos? No: representan cantidades de clases. Un valor negativo sería matemáticamente posible pero sin sentido en el contexto, y significaría que los recursos no alcanzan para esa combinación.

¿Podrían ser decimales? Matemáticamente sí, pero acá no tendría sentido: no se puede dictar 2,5 clases. Este problema requiere soluciones enteras y no negativas.

¿Por qué no probar combinaciones al azar? Porque el sistema garantiza que la solución es la solución (y avisa si no hay ninguna o si hay infinitas), mientras que probar al azar no prueba nada, no escala a más variables y puede no terminar nunca.

a) Sistema. \(\begin{cases}3x+y=9 & \text{(nitrógeno)}\\ 2x+4y=10 & \text{(fósforo)}\end{cases}\)

b) Variables. \(x\) = kg de fertilizante A; \(y\) = kg de fertilizante B. Cada ecuación equilibra un nutriente: aportes totales = necesidad del cultivo.

c) Resolución (sustitución). De la primera: \(y=9-3x\). En la segunda: \(2x+4(9-3x)=10\Rightarrow 2x+36-12x=10\Rightarrow -10x=-26\Rightarrow x=2{,}6\). Entonces \(y=9-3(2{,}6)=9-7{,}8=1{,}2\).

Verificación. Nitrógeno: \(3(2{,}6)+1{,}2=7{,}8+1{,}2=9\) ✔. Fósforo: \(2(2{,}6)+4(1{,}2)=5{,}2+4{,}8=10\) ✔.

¿Negativos? No tendría sentido: no se puede usar una cantidad negativa de fertilizante. Si el sistema arrojara un negativo, la conclusión sería que no existe una mezcla que cumpla exactamente los requerimientos.

¿Decimales? Sí, y de hecho la solución lo es. A diferencia de las clases del gimnasio, los kilogramos son una magnitud continua: 2,6 kg es perfectamente realizable.

¿Por qué el sistema y no probar? Porque las cantidades no son enteras: probando combinaciones «redondas» nunca se hubiera encontrado \((2{,}6\,;\,1{,}2)\).

a) Sistema (situación real). \(\begin{cases}30x+50y=200 & \text{(ganancia real)}\\ x+y=8 & \text{(unidades vendidas)}\end{cases}\)

b) Variables. \(x\) = unidades vendidas del producto A; \(y\) = unidades del producto B.

c) Resolución. De la segunda: \(y=8-x\). Sustituyo: \(30x+50(8-x)=200\Rightarrow 30x+400-50x=200\Rightarrow -20x=-200\Rightarrow x=10\), y entonces \(y=8-10=-2\).

Verificación. \(30(10)+50(-2)=300-100=200\) ✔; \(10+(-2)=8\) ✔. La solución es correcta como solución del sistema.

Interpretación — lo importante del ejercicio. \(y=-2\) no puede representar unidades vendidas. La lectura correcta es que los datos son inconsistentes con el modelo: no existe ninguna combinación de 8 unidades de A y B que genere solo $200 de ganancia, porque el mínimo posible (8 unidades de A) ya sería \(8\times30=\$240\). Esto es exactamente lo que el enunciado sugiere: hubo devoluciones y errores de registro, es decir, el modelo «8 unidades vendidas, ganancia 30/50 por unidad» dejó de describir la situación.

Escenario esperado. Con la ganancia proyectada: \(\begin{cases}30x+50y=300\\ x+y=8\end{cases}\Rightarrow 30x+50(8-x)=300\Rightarrow -20x=-100\Rightarrow x=5,\ y=3\). Verificación: \(150+150=300\) ✔, \(5+3=8\) ✔. Es decir, el plan era vender 5 de A y 3 de B.

¿Podrían ser decimales? No, se trata de unidades de producto: solo tienen sentido valores enteros y no negativos.

Moraleja de modelización: resolver el sistema es la mitad del trabajo; la otra mitad es decidir si la solución es admisible en el contexto. Un resultado negativo suele ser un mensaje sobre los datos, no un error de cuenta.

(a) Falsa. Contraejemplo: \(x+y=1,\ 2x+2y=5\) es incompatible; \(x+y=1,\ 2x+2y=2\) es indeterminado.

(b) Verdadera. La asignación \((0,0,\dots,0)\) siempre satisface todas las ecuaciones (todos los términos independientes son 0). Se la llama solución trivial. Un sistema homogéneo tiene entonces una única solución (la trivial) o infinitas.

(c) Falsa. \(0=0\) es una igualdad verdadera: indica ecuaciones redundantes e infinitas soluciones. Lo que indica «sin solución» es una contradicción del tipo \(0=k\) con \(k\neq0\).

(d) Falsa. Equivalente significa mismo conjunto de soluciones, no mismas ecuaciones. \(x+y=2\) y \(3x+3y=6\) son ecuaciones distintas con las mismas soluciones.

\((4,2)\): \(4+3(2)=10\) ✔ y \(2(4)-2=6\) ✔ → es solución.

\((1,3)\): \(1+9=10\) ✔ pero \(2(1)-3=-1\neq6\) ✘ → no es solución. Este es el caso que hay que mirar con atención: cumple una ecuación, y eso no alcanza.

\((10,0)\): \(10+0=10\) ✔ pero \(20-0=20\neq6\) ✘ → no es solución.

(a) Elegí dos ecuaciones cualesquiera que \((5,-1)\) satisfaga y que no sean múltiplos entre sí: \(\begin{cases}x+y=4\\ x-y=6\end{cases}\) (verificá: \(5-1=4\) ✔, \(5+1=6\) ✔). Las pendientes son distintas, así que se cortan en un único punto.

(b) Tomá la misma parte izquierda y cambiá el término independiente: \(\begin{cases}x+y=4\\ x+y=9\end{cases}\). Restando: \(0=5\), absurdo.

(c) Repetí la misma ecuación multiplicada por un número: \(\begin{cases}x+y=4\\ 3x+3y=12\end{cases}\).

Cómo reconocer estos ejercicios: piden «construir» en lugar de «resolver». La técnica es siempre partir de la respuesta deseada y armar hacia atrás.

Paso 1. Observo que la segunda ecuación es la primera multiplicada por \(-2\): \(-2(5x-2y)=-2(1)\Rightarrow -10x+4y=-2\). Son la misma recta.

Paso 2. Por eliminación: multiplico la primera por 2 y sumo → \(0=0\). Igualdad verdadera trivial.

Paso 3 · parametrizar. De \(5x-2y=1\): \(y=\dfrac{5x-1}{2}\). Con \(x=t\) libre, el conjunto solución es el escrito arriba. Ejemplos: \(t=1\Rightarrow(1,2)\); \(t=3\Rightarrow(3,7)\).

Verificación. \(5(1)-2(2)=1\) ✔; \(-10(1)+4(2)=-2\) ✔.

Paso 1. Sumo la 1.ª y la 2.ª para eliminar \(y\): \((x+y+z)+(x-y+2z)=6+5\Rightarrow 2x+3z=11\).

Paso 2. Sumo la 2.ª y la 3.ª (también elimina \(y\)): \((x-y+2z)+(2x+y-z)=5+1\Rightarrow 3x+z=6\).

Paso 3. Del sistema \(\begin{cases}2x+3z=11\\ 3x+z=6\end{cases}\): de la segunda \(z=6-3x\); sustituyo: \(2x+3(6-3x)=11\Rightarrow 2x+18-9x=11\Rightarrow -7x=-7\Rightarrow x=1\), y \(z=6-3=3\).

Paso 4. De la primera ecuación original: \(1+y+3=6\Rightarrow y=2\).

Verificación. \(1+2+3=6\) ✔; \(1-2+6=5\) ✔; \(2+2-3=1\) ✔.

Estrategia usada: eliminar la misma variable en dos pares distintos de ecuaciones para bajar de un sistema 3×3 a uno 2×2. Es exactamente la idea que el Módulo 2 mecaniza con matrices.

Paso 1. Para que las dos ecuaciones representen la misma recta debe cumplirse \(\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{k}=\dfrac{7}{14}\).

Paso 2. \(\dfrac{2}{4}=\dfrac12\) y \(\dfrac{7}{14}=\dfrac12\): los extremos ya coinciden. Falta \(\dfrac{3}{k}=\dfrac12\Rightarrow k=6\).

Paso 3 · el caso incompatible. Haría falta \(\dfrac24=\dfrac3k\neq\dfrac7{14}\), pero \(\dfrac24=\dfrac7{14}\) siempre. Como los términos independientes ya están «en proporción», nunca puede haber paralelismo estricto: con \(k\neq6\) las rectas se cortan (determinado) y con \(k=6\) coinciden.

Cómo reconocerlo: los ejercicios «hallá \(k\) para que…» se resuelven comparando proporciones de coeficientes, o (Módulo 2) con el determinante: \(\det\begin{pmatrix}2&3\\4&k\end{pmatrix}=2k-12=0\Rightarrow k=6\).

Paso 1 · limpiar denominadores. Multiplico la primera ecuación por 6 y la segunda por 2 (transformación válida: ambos factores son distintos de cero, así que el sistema resultante es equivalente):

\[\begin{cases}3x+2y=24\\ x-2y=0\end{cases}\]

Paso 2 · eliminar \(y\). Los coeficientes de \(y\) ya son opuestos (\(+2\) y \(-2\)), así que sumo directamente: \((3x+2y)+(x-2y)=24+0\Rightarrow 4x=24\Rightarrow x=6\).

Paso 3. De \(x-2y=0\): \(6-2y=0\Rightarrow y=3\).

Paso 4 · verificación en el sistema original. \(\dfrac62+\dfrac33=3+1=4\) ✔; \(\dfrac62-3=3-3=0\) ✔.

Estrategia: con fracciones, el primer movimiento es siempre multiplicar cada ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores. Recién después se elige el método.

Paso 1. Proporciones: \(\dfrac{1}{3}\), \(\dfrac{-2}{k}\), \(\dfrac{3}{9}=\dfrac13\).

Paso 2. \(\dfrac13=\dfrac{-2}{k}\Rightarrow k=-6\). Con ese valor las tres proporciones valen \(1/3\) (porque \(3/9=1/3\)), así que la segunda ecuación es tres veces la primera → infinitas soluciones.

Paso 3. Si \(k\neq-6\), las pendientes difieren y las rectas se cortan en un punto → única solución.

Paso 4. Para que fuera incompatible harían falta pendientes iguales con términos independientes fuera de proporción, y eso no ocurre para ningún \(k\).

Verificación con \(k=-6\): \(3x-6y=9\) es \(3(x-2y)=3\cdot3\) ✔.

Paso 1. La segunda ecuación es el doble de la primera → aporta la misma información.

Paso 2. De \(2x-y=0\): \(y=2x\). Tomando \(x=t\): \(S=\{(t,2t)\}\).

Paso 3 · observación clave. Todo sistema homogéneo contiene la solución trivial \((0,0)\), que se obtiene con \(t=0\). Por eso nunca puede ser incompatible.

Conexión con el Módulo 3: ese conjunto solución es una recta que pasa por el origen, es decir, un subespacio vectorial de \(\mathbb R^2\) de dimensión 1. El conjunto solución de un sistema homogéneo siempre es un subespacio; el de uno no homogéneo, no (no contiene al vector nulo).

Paso 1. La segunda ecuación es el doble de la primera: información redundante. El sistema «real» tiene solo dos ecuaciones útiles para tres incógnitas.

Paso 2. De la tercera: \(x=y\).

Paso 3. En la primera: \(x+x+z=3\Rightarrow z=3-2x\).

Paso 4 · parametrizar. Con \(x=t\): \((x,y,z)=(t,t,3-2t)\).

Verificación con \(t=1\): \((1,1,1)\) → \(1+1+1=3\) ✔, \(2+2+2=6\) ✔, \(1-1=0\) ✔. Con \(t=0\): \((0,0,3)\) ✔.

Lectura: «3 ecuaciones y 3 incógnitas» no garantizó solución única, precisamente porque una ecuación no aportaba nada nuevo. En el lenguaje del Módulo 3: el rango es 2, menor que el número de incógnitas.

Paso 1 · variables. \(x\) = mochilas clásicas, \(y\) = mochilas grandes.

Paso 2 · sistema. \(\begin{cases}2x+3y=120 & \text{(tela)}\\ x+2y=70 & \text{(cierres)}\end{cases}\)

Paso 3 · eliminación. Multiplico la segunda por 2: \(2x+4y=140\). Resto la primera: \((2x+4y)-(2x+3y)=140-120\Rightarrow y=20\).

Paso 4. \(x+2(20)=70\Rightarrow x=30\).

Verificación. Tela: \(2(30)+3(20)=60+60=120\) ✔. Cierres: \(30+40=70\) ✔.

Interpretación. Ambos valores son enteros y positivos, así que la solución es realizable.

Paso 1 · variables. \(c\) = precio del café, \(m\) = precio de la medialuna.

Paso 2 · sistema. \(\begin{cases}2c+m=2900\\ c+3m=2700\end{cases}\)

Paso 3 · sustitución. De la primera: \(m=2900-2c\). En la segunda: \(c+3(2900-2c)=2700\Rightarrow c+8700-6c=2700\Rightarrow -5c=-6000\Rightarrow c=1200\). Entonces \(m=2900-2400=500\).

Paso 4 · verificación. \(2(1200)+500=2900\) ✔; \(1200+3(500)=2700\) ✔.

Paso 5 · predicción. \(3(1200)+2(500)=3600+1000=4600\).

Conexión con ciencia de datos: esto es, en miniatura, lo que hace un modelo lineal: estimar coeficientes a partir de observaciones y usarlos para predecir un caso nuevo.

Paso 1 · sistema. \(\begin{cases}2a+10b+c=50\\ 4a+10b+c=60\\ 4a+8b+c=70\end{cases}\)

Paso 2. Resto la 1.ª a la 2.ª (se cancelan \(b\) y \(c\)): \(2a=10\Rightarrow a=5\).

Paso 3. Resto la 3.ª a la 2.ª: \((4a+10b+c)-(4a+8b+c)=60-70\Rightarrow 2b=-10\Rightarrow b=-5\).

Paso 4. En la 1.ª: \(2(5)+10(-5)+c=50\Rightarrow 10-50+c=50\Rightarrow c=90\).

Verificación. Dato 2: \(4(5)+10(-5)+90=20-50+90=60\) ✔. Dato 3: \(20-40+90=70\) ✔.

Interpretación de los signos. \(a=5>0\): cada unidad extra de publicidad suma 5 ventas. \(b=-5<0\): cada peso de aumento en el precio resta 5 ventas (relación inversa, como es esperable). \(c=90\): ventas «de base» del modelo cuando \(p=q=0\), un valor extrapolado que fuera del rango de los datos hay que interpretar con cuidado.

Estrategia destacable: elegí qué ecuaciones restar mirando qué columnas se repiten. Aquí, dos datos compartían \(q=10\) y otros dos compartían \(p=4\): restarlos elimina dos incógnitas de una sola vez.

(a) Variables: \(x\) = porciones de 100 g de A; \(y\) = porciones de 100 g de B.

Sistema: \(\begin{cases}20x+10y=50 & \text{(proteína)}\\ 5x+15y=25 & \text{(grasa)}\end{cases}\)

Simplifico dividiendo la 1.ª por 10 y la 2.ª por 5: \(\begin{cases}2x+y=5\\ x+3y=5\end{cases}\). De la 1.ª: \(y=5-2x\); sustituyo en la 2.ª: \(x+3(5-2x)=5\Rightarrow x+15-6x=5\Rightarrow -5x=-10\Rightarrow x=2\), y entonces \(y=5-4=1\).

Verificación: proteína \(20(2)+10(1)=50\) ✔; grasa \(5(2)+15(1)=25\) ✔.

(b) ¿Admisible? Sí: ambos valores son positivos, es decir 200 g del alimento A y 100 g del B. Al tratarse de gramos (magnitud continua) también habrían sido válidos resultados decimales.

(c) Con 100 g de grasa: \(\begin{cases}2x+y=5\\ x+3y=20\end{cases}\Rightarrow x+3(5-2x)=20\Rightarrow -5x=5\Rightarrow x=-1\), \(y=7\). El valor \(x=-1\) es matemáticamente correcto pero inadmisible: no existe una mezcla de esos dos alimentos que cumpla simultáneamente ambos requerimientos. La conclusión práctica sería que hace falta un tercer alimento o revisar los objetivos nutricionales.

Cómo reconocer estos ejercicios: siempre terminan pidiendo interpretar el signo o el tipo de número. El álgebra da el resultado; la interpretación es tuya.

Paso 1. Ordeno las columnas como \(x,y,z\) y completo con ceros las variables ausentes:

\[A=\begin{pmatrix}3&-1&2\\1&0&4\\2&5&0\end{pmatrix},\qquad [A\mid Y]=\left(\begin{array}{ccc|c}3&-1&2&7\\1&0&4&0\\2&5&0&-3\end{array}\right)\]

Paso 2. \(A\) tiene 3 filas y 3 columnas → orden \(3\times3\), es cuadrada. La aumentada agrega una columna → \(3\times4\), es rectangular.

Errores a evitar: saltear la columna de \(y\) en la segunda ecuación (donde \(y\) no aparece) o poner el \(7\) dentro de \(A\).

Razonamiento: conviene ir en orden: primero ¿es cuadrada?, después ¿dónde están los ceros?, y recién entonces asignar todas las etiquetas que correspondan. Las categorías no son excluyentes.

\(P\): pivotes en columnas 1 y 2 (avanzan a la derecha), ceros debajo de cada pivote, y la fila nula está al final. ✔ Cumple las tres.

\(Q\): el pivote de la fila 2 está en la columna 3, y el de la fila 3 en la columna 2: retrocede. Además debajo del pivote de la fila 2 no hay ceros en su columna… ✘ No es escalonada. (Intercambiando las filas 2 y 3 sí lo sería.)

\(R\): pivote de la fila 1 en columna 2, pivote de la fila 2 en columna 4 (más a la derecha), fila nula al final. ✔ Es escalonada, aunque tenga una columna inicial de ceros y «escalones» anchos.

Paso 1. \(\left(\begin{array}{cc|c}1&2&8\\3&-1&10\end{array}\right)\)

Paso 2. \(F_2\to F_2-3F_1\): \(3-3=0\); \(-1-3(2)=-7\); \(10-3(8)=-14\).

\[\left(\begin{array}{cc|c}1&2&8\\0&-7&-14\end{array}\right)\]

Paso 3 · sustitución hacia atrás. \(-7y=-14\Rightarrow y=2\); luego \(x+2(2)=8\Rightarrow x=4\).

Verificación. \(4+4=8\) ✔; \(12-2=10\) ✔.

Paso 1. \(\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\2&2&2&2\\1&-1&1&3\end{array}\right)\)

Paso 2. \(F_2\to F_2-2F_1\) da la fila nula \((0\ 0\ 0\mid 0)\): la segunda ecuación no aportaba información nueva. \(F_3\to F_3-F_1\) da \((0\ -2\ 0\mid 2)\).

Paso 3 · reordenar (la fila nula va abajo, condición 1 de matriz escalonada):

\[\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\0&-2&0&2\\0&0&0&0\end{array}\right)\]

Paso 4. De la fila 2: \(-2y=2\Rightarrow y=-1\). De la fila 1: \(x-1+z=1\Rightarrow x=2-z\). La variable \(z\) queda libre: la llamo \(t\).

Paso 5 · verificación con \(t=0\): \((2,-1,0)\) → \(2-1+0=1\) ✔, \(4-2+0=2\) ✔, \(2+1+0=3\) ✔.

Lectura: hay 3 ecuaciones y 3 incógnitas, pero solo 2 filas no nulas. Ese número —el rango— es el que decide (Módulo 3, Rouché–Frobenius): rango 2 < 3 incógnitas → infinitas soluciones con 1 parámetro.

(a) Sumo elemento a elemento: \(\begin{pmatrix}2+1&0+4\\-1+2&3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4\\1&1\end{pmatrix}\).

(b) \(2A=\begin{pmatrix}4&0\\-2&6\end{pmatrix}\); restando \(B\): \(\begin{pmatrix}4-1&0-4\\-2-2&6+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-4\\-4&8\end{pmatrix}\).

(c) \(C_{11}=2(1)+0(2)=2\); \(C_{12}=2(4)+0(-2)=8\); \(C_{21}=-1(1)+3(2)=5\); \(C_{22}=-1(4)+3(-2)=-10\).

(d) \(D_{11}=1(2)+4(-1)=-2\); \(D_{12}=1(0)+4(3)=12\); \(D_{21}=2(2)+(-2)(-1)=6\); \(D_{22}=2(0)+(-2)(3)=-6\).

Conclusión. \(AB\neq BA\): el producto de matrices no es conmutativo. Ambos productos existían y tenían el mismo orden, y aun así dieron distinto.

Paso 1. \(\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\3&5&0&1\end{array}\right)\); el pivote ya es 1.

Paso 2. \(F_2\to F_2-3F_1\): \(\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&-1&-3&1\end{array}\right)\).

Paso 3. \(F_2\to -F_2\): \(\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&1&3&-1\end{array}\right)\).

Paso 4. \(F_1\to F_1-2F_2\): \(1-2(3)=-5\) y \(0-2(-1)=2\): \(\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-5&2\\0&1&3&-1\end{array}\right)\).

Verificación. \(\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-5&2\\3&-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-5+6&2-2\\-15+15&6-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) ✔

Control con la fórmula: \(\det M=1\cdot5-3\cdot2=-1\), y \(\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}5&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5&2\\3&-1\end{pmatrix}\) ✔

(a) \(4\cdot6-2\cdot7=24-14=10\).

(b) Sarrus: principales \(1\cdot1\cdot1=1\), \(2\cdot4\cdot2=16\), \(3\cdot0\cdot0=0\) → suma \(17\); secundarias \(3\cdot1\cdot2=6\), \(0\cdot4\cdot1=0\), \(1\cdot0\cdot2=0\) → suma \(6\). Luego \(17-6=11\).

(b) Cofactores, desarrollando por la primera fila: \(1\cdot\det\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}-2\cdot\det\begin{pmatrix}0&4\\2&1\end{pmatrix}+3\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix} =1(1)-2(0-8)+3(0-2)=1+16-6=11\) ✔ Los dos métodos coinciden.

(c) Es triangular superior: por la propiedad 3, el determinante es el producto de la diagonal: \(3\cdot(-2)\cdot4=-24\). No hace falta Sarrus.

Estrategia. Antes de desarrollar conviene crear ceros con operaciones de fila (sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante). Restamos la fila 1 a la fila 4: \(F_4\to F_4-F_1\), que deja \((0,-1,-1,2)\):

\[\det H=\det\begin{pmatrix}1&0&2&-1\\3&1&0&2\\0&2&1&1\\0&-1&-1&2\end{pmatrix}\]

Ahora \(F_2\to F_2-3F_1\) da \((0,1,-6,5)\):

\[\det H=\det\begin{pmatrix}1&0&2&-1\\0&1&-6&5\\0&2&1&1\\0&-1&-1&2\end{pmatrix}\]

Desarrollo por la primera columna: solo sobrevive el \(1\) de la posición (1,1), con signo \(+\):

\[\det H = 1\cdot\det\begin{pmatrix}1&-6&5\\2&1&1\\-1&-1&2\end{pmatrix}\]

Sarrus en el \(3\times3\): principales: \(1\cdot1\cdot2=2\), \((-6)\cdot1\cdot(-1)=6\), \(5\cdot2\cdot(-1)=-10\) → suma \(-2\). Secundarias: \(5\cdot1\cdot(-1)=-5\), \((-1)\cdot1\cdot1=-1\), \(2\cdot2\cdot(-6)=-24\) → suma \(-30\).

\(\det = -2-(-30)=28\).

Conclusión. \(\det(H)=28\neq0\): \(H\) es invertible.

Concepto clave: las operaciones de fila del tipo \(F_i\to F_i+kF_j\) preservan el determinante; multiplicar una fila por \(k\) lo multiplica por \(k\); intercambiar dos filas le cambia el signo. Tenerlo presente permite simplificar antes de calcular.

1, 2 · Filas, columnas y orden.

3 · Posiciones (fila, columna).

• En \(A\): el 5 está en \(a_{11}\); el 7 en \(a_{22}\); el 8 en \(a_{23}\).
• En \(B\): el 6 está en \(b_{21}\); el 2 en \(b_{32}\).
• En \(C\): el 1 está en \(c_{11}\); el 9 en \(c_{33}\).

4 · Traspuestas.

\[A^{T}=\begin{pmatrix}5&2\\9&7\\3&8\end{pmatrix},\qquad B^{T}=\begin{pmatrix}4&6&3\\-1&0&2\end{pmatrix},\qquad C^{T}=\begin{pmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{pmatrix}\]

5, 6 · Orden de las traspuestas. \(A^{T}\): 3 filas y 2 columnas, orden \(3\times2\). \(B^{T}\): 2 filas y 3 columnas, \(2\times3\). \(C^{T}\): \(3\times3\) (una matriz cuadrada conserva su orden al trasponerse).

7 · Posiciones en las traspuestas. Al trasponer, los índices se intercambian: si un elemento estaba en \((i,j)\), pasa a \((j,i)\).

• En \(A^{T}\): el 5 sigue en \((1,1)\); el 7 sigue en \((2,2)\); el 8 pasa de \((2,3)\) a \((3,2)\).
• En \(B^{T}\): el 6 pasa de \((2,1)\) a \((1,2)\); el 2 pasa de \((3,2)\) a \((2,3)\).
• En \(C^{T}\): el 1 queda en \((1,1)\) y el 9 en \((3,3)\): los elementos de la diagonal principal no se mueven al trasponer.

Observación útil: esa última propiedad (la diagonal queda fija) es la razón por la que \(\det(A^{T})=\det(A)\) y por la que las matrices simétricas cumplen \(A^{T}=A\).

Criterio de trabajo: las clasificaciones no son excluyentes. Conviene responder con todas las etiquetas que apliquen, empezando por la más específica.

1 · Matriz aumentada.

\[\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&8\\2&-1&3&9\\3&1&2&13\end{array}\right)\]

2 · Eliminación gaussiana.

Paso 1: \(F_2\to F_2-2F_1\). Entradas: \(2-2=0\); \(-1-2(2)=-5\); \(3-2(1)=1\); \(9-2(8)=-7\).

Paso 2: \(F_3\to F_3-3F_1\). Entradas: \(3-3=0\); \(1-3(2)=-5\); \(2-3(1)=-1\); \(13-3(8)=-11\).

\[\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&8\\0&-5&1&-7\\0&-5&-1&-11\end{array}\right)\]

Paso 3: \(F_3\to F_3-F_2\): \(-5-(-5)=0\); \(-1-1=-2\); \(-11-(-7)=-4\).

\[\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&8\\0&-5&1&-7\\0&0&-2&-4\end{array}\right)\quad\text{(escalonada)}\]

3 · Sustitución hacia atrás.

Fila 3: \(-2z=-4\Rightarrow z=2\).

Fila 2: \(-5y+z=-7\Rightarrow -5y+2=-7\Rightarrow -5y=-9\Rightarrow y=\dfrac95=1{,}8\).

Fila 1: \(x+2y+z=8\Rightarrow x+\dfrac{18}{5}+2=8\Rightarrow x=6-\dfrac{18}{5}=\dfrac{12}{5}=2{,}4\).

4 · Verificación en las ecuaciones originales.

• \(2{,}4+2(1{,}8)+2=2{,}4+3{,}6+2=8\) ✔
• \(2(2{,}4)-1{,}8+3(2)=4{,}8-1{,}8+6=9\) ✔
• \(3(2{,}4)+1{,}8+2(2)=7{,}2+1{,}8+4=13\) ✔

Clasificación: compatible determinado (tres pivotes, tres incógnitas).

1. \(A+B=\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}\) y \(B+A=\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}\).

2. Como \(A+B=B+A\), se cumple la propiedad conmutativa. La razón de fondo: la suma se hace elemento a elemento y la suma de números reales es conmutativa.

3. \((A+B)+C=\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&0\\-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&8\\9&15\end{pmatrix}\).
\(B+C=\begin{pmatrix}7&6\\6&11\end{pmatrix}\), luego \(A+(B+C)=\begin{pmatrix}8&8\\9&15\end{pmatrix}\).

4. Coinciden: se cumple la propiedad asociativa.

5. \(A-B=\begin{pmatrix}-4&-4\\-4&-4\end{pmatrix}\) y \(B-A=\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}\).

6. No se cumple la conmutatividad en la resta: \(A-B\neq B-A\). De hecho \(B-A=-(A-B)\).

7. Productos por escalar:

\[2A=\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix},\qquad \tfrac12B=\begin{pmatrix}2{,}5&3\\3{,}5&4\end{pmatrix},\qquad -2C=\begin{pmatrix}-4&0\\2&-6\end{pmatrix}\]

Error a evitar: al calcular \(-2C\), el elemento \(-1\) pasa a \(+2\), no a \(-2\).

1 · ¿Se pueden multiplicar? \(D\) es \(2\times3\) y \(E\) es \(3\times2\).

• \(D\cdot E\): \((2\times\underline{3})(\underline{3}\times2)\) → los números del medio coinciden ✔, resultado \(2\times2\).
• \(E\cdot D\): \((3\times\underline{2})(\underline{2}\times3)\) → también coinciden ✔, resultado \(3\times3\).

Ambos existen pero tienen distinto orden, así que ya se ve que no pueden ser iguales: el producto no es conmutativo.

2 · Cálculo de \(D\cdot E\).

• \(C_{11}=1(2)+2(0)+0(1)=2\)
• \(C_{12}=1(1)+2(-1)+0(3)=1-2=-1\)
• \(C_{21}=-1(2)+3(0)+1(1)=-2+1=-1\)
• \(C_{22}=-1(1)+3(-1)+1(3)=-1-3+3=-1\)

\[D\cdot E=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&-1\end{pmatrix}\]

Para comparar: \(E\cdot D=\begin{pmatrix}1&7&1\\1&-3&-1\\-2&11&3\end{pmatrix}\), que es \(3\times3\).

3 · Propiedad distributiva \(D(P+Q)=DP+DQ\), con matrices que se puedan multiplicar por \(D\) (es decir, de \(3\times2\)). Tomemos \(P=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\\0&3\end{pmatrix}\) y \(Q=\begin{pmatrix}4&6\\5&7\\2&-3\end{pmatrix}\).

\(P+Q=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\\2&0\end{pmatrix}\), y \(D(P+Q)=\begin{pmatrix}19&22\\18&18\end{pmatrix}\).

Por otro lado \(DP=\begin{pmatrix}5&2\\5&6\end{pmatrix}\) y \(DQ=\begin{pmatrix}14&20\\13&12\end{pmatrix}\), de modo que \(DP+DQ=\begin{pmatrix}19&22\\18&18\end{pmatrix}\). Coinciden ✔

4 · Producto por la identidad. \(D\) es \(2\times3\), así que hay que usar la identidad del orden adecuado a cada lado: \(I_2\cdot D=D\) y \(D\cdot I_3=D\). Por ejemplo:

\[\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&0\\-1&3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&0\\-1&3&1\end{pmatrix}\ ✔\]

Concepto clave: la identidad es el neutro del producto, pero su orden depende del lado por el que se multiplique.

1 · Fórmula 2×2. \(\det F = 2\cdot2-3\cdot1=4-3=1\).

2 · Por definición (desarrollo por la primera fila). \(\det F = a_{11}\cdot(+1)\cdot|2| + a_{12}\cdot(-1)\cdot|3| = 2(2)-1(3)=1\) ✔ Coincide.

3 · ¿Tiene inversa? Sí: es cuadrada y \(\det F=1\neq0\). Equivalentemente, sus filas son linealmente independientes (ninguna es múltiplo de la otra).

4 · Gauss-Jordan. Desarrollo completo en el Ejemplo 2.6 de la sección 2.7; el resultado es \(F^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}\).

5 · Verificación. \(\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-3&-2+2\\6-6&-3+4\end{pmatrix}=I\) ✔ (y también \(F^{-1}F=I\), que conviene comprobar porque la definición pide ambas).

1 · Sarrus. Principales: \(1\cdot1\cdot1=1\); \(2\cdot4\cdot2=16\); \(3\cdot0\cdot0=0\) → \(17\). Secundarias: \(3\cdot1\cdot2=6\); \(0\cdot4\cdot1=0\); \(1\cdot0\cdot2=0\) → \(6\). \(\det G=17-6=11\).

2 · Por definición (fila 2, que tiene un cero): \(\det G = -0\cdot\begin{vmatrix}2&3\\0&1\end{vmatrix} + 1\cdot\begin{vmatrix}1&3\\2&1\end{vmatrix} - 4\cdot\begin{vmatrix}1&2\\2&0\end{vmatrix} = 0 + (1-6) - 4(0-4) = -5+16 = 11\) ✔

3 · ¿Invertible? Sí, porque \(\det G=11\neq0\).

4 · Gauss-Jordan. Partimos de \([G\mid I]\):

\[\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&1&4&0&1&0\\2&0&1&0&0&1\end{array}\right)\]

\(F_3\to F_3-2F_1\): \(\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&1&4&0&1&0\\0&-4&-5&-2&0&1\end{array}\right)\)

\(F_3\to F_3+4F_2\): \(\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&1&4&0&1&0\\0&0&11&-2&4&1\end{array}\right)\)

\(F_3\to \tfrac{1}{11}F_3\): la tercera fila derecha queda \(\left(-\tfrac{2}{11},\tfrac{4}{11},\tfrac{1}{11}\right)\).

\(F_2\to F_2-4F_3\): \(\left(\tfrac{8}{11},\,1-\tfrac{16}{11},\,-\tfrac{4}{11}\right)=\left(\tfrac{8}{11},-\tfrac{5}{11},-\tfrac{4}{11}\right)\).

\(F_1\to F_1-3F_3\): \(\left(1+\tfrac{6}{11},-\tfrac{12}{11},-\tfrac{3}{11}\right)=\left(\tfrac{17}{11},-\tfrac{12}{11},-\tfrac{3}{11}\right)\).

\(F_1\to F_1-2F_2\): \(\left(\tfrac{17-16}{11},\tfrac{-12+10}{11},\tfrac{-3+8}{11}\right)=\left(\tfrac{1}{11},-\tfrac{2}{11},\tfrac{5}{11}\right)\).

\[G^{-1}=\frac{1}{11}\begin{pmatrix}1&-2&5\\8&-5&-4\\-2&4&1\end{pmatrix}\]

5 · Verificación (primera fila de \(G\) por primera columna de \(G^{-1}\)): \(\frac{1}{11}\big(1(1)+2(8)+3(-2)\big)=\frac{1+16-6}{11}=1\) ✔; primera fila por segunda columna: \(\frac{1}{11}\big(1(-2)+2(-5)+3(4)\big)=\frac{-2-10+12}{11}=0\) ✔. Repitiendo se obtiene \(G\,G^{-1}=I\).

Control extra: \(\det(G^{-1})=\dfrac{1}{\det G}=\dfrac{1}{11}\), coherente con el factor \(1/11\) que aparece en toda la matriz.

1 · Determinante. Desarrollado en el Ejercicio 2.9 (sección 2.8): creando ceros en la primera columna con \(F_2\to F_2-3F_1\) y \(F_4\to F_4-F_1\) (operaciones que no alteran el determinante) y desarrollando por esa columna, queda \(\det H=\det\begin{pmatrix}1&-6&5\\2&1&1\\-1&-1&2\end{pmatrix}=28\).

2 · ¿Invertible? Sí: es cuadrada y su determinante es distinto de cero.

3 · Gauss-Jordan (esquema del cálculo). Se parte de \([H\mid I_4]\) y se procede por columnas:

1. Con el pivote \(h_{11}=1\): \(F_2\to F_2-3F_1\) y \(F_4\to F_4-F_1\) (la fila 3 ya tiene 0).
2. Con el pivote de la segunda columna (el \(1\) que quedó en \(F_2\)): \(F_3\to F_3-2F_2\) y \(F_4\to F_4+F_2\).
3. Se normaliza el pivote de la tercera columna y se anulan las entradas de arriba y de abajo.
4. Ídem con la cuarta columna, hasta llegar a \([I_4\mid H^{-1}]\).

El resultado es la matriz indicada arriba. Escrita en decimales aproximados:

\[H^{-1}\approx\begin{pmatrix}0{,}214&0{,}321&-0{,}250&-0{,}179\\0{,}071&0{,}107&0{,}250&-0{,}393\\0{,}214&-0{,}179&0{,}250&0{,}321\\-0{,}357&-0{,}036&0{,}250&0{,}464\end{pmatrix}\]

4 · Verificación. Conviene comprobar al menos una fila completa. Primera fila de \(H\) por primera columna de \(H^{-1}\): \(\frac{1}{28}\big(1(6)+0(2)+2(6)+(-1)(-10)\big)=\frac{6+12+10}{28}=1\) ✔
Primera fila de \(H\) por segunda columna de \(H^{-1}\): \(\frac{1}{28}\big(1(9)+0(3)+2(-5)+(-1)(-1)\big)=\frac{9-10+1}{28}=0\) ✔
Primera fila por tercera columna: \(\frac{1}{28}\big(1(-7)+0(7)+2(7)+(-1)(7)\big)=\frac{-7+14-7}{28}=0\) ✔
Primera fila por cuarta columna: \(\frac{1}{28}\big(1(-5)+0(-11)+2(9)+(-1)(13)\big)=\frac{-5+18-13}{28}=0\) ✔

Consejo práctico: en una matriz \(4\times4\) el riesgo no es conceptual sino de cuentas. Trabajá con fracciones (no con decimales redondeados), anotá cada operación de fila y verificá al final: si \(H\cdot H^{-1}\) no da exactamente \(I\), hay un error aritmético en algún paso.

1 · Sistema. \(\begin{cases}30S+20I=260 & \text{(palo)}\\ 10S+40I=220 & \text{(polvo)}\end{cases}\)

2 · Forma matricial. \(\begin{pmatrix}30&20\\10&40\end{pmatrix}\begin{pmatrix}S\\I\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}260\\220\end{pmatrix}\)

3 · Qué representa cada fila y cada columna. La fila 1 es el balance del palo; la fila 2, el del polvo. La columna 1 es el consumo por paquete de Yerba Suave; la columna 2, el de Yerba Intensa. La columna \(Y\) son los gramos disponibles de cada insumo.

4 · Eliminación gaussiana. Simplifico dividiendo cada fila por 10 (\(F_1\to\tfrac{1}{10}F_1\), \(F_2\to\tfrac{1}{10}F_2\)) e intercambio filas para tener pivote 1:

\[\left(\begin{array}{cc|c}30&20&260\\10&40&220\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc|c}3&2&26\\1&4&22\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc|c}1&4&22\\3&2&26\end{array}\right)\]

\(F_2\to F_2-3F_1\): \(3-3=0\); \(2-12=-10\); \(26-66=-40\):

\[\left(\begin{array}{cc|c}1&4&22\\0&-10&-40\end{array}\right)\]

5 · Resolución. \(-10I=-40\Rightarrow I=4\); luego \(S+4(4)=22\Rightarrow S=6\).

6a · ¿Podrían ser negativos? No tendría sentido: representan cantidades de paquetes producidos. Un resultado negativo indicaría que no existe una producción que use exactamente esos insumos.

6b · ¿Podrían ser decimales? Matemáticamente sí (como en el ejemplo de los cereales), pero acá los paquetes son unidades enteras, así que solo un resultado entero es aplicable. En este caso se dio.

7 · Verificación. Palo: \(30(6)+20(4)=180+80=260\) ✔. Polvo: \(10(6)+40(4)=60+160=220\) ✔.

8 · ¿Es más práctico con matrices? Para un \(2\times2\) la diferencia es mínima. La ventaja aparece cuando crecen las dimensiones: el método matricial es sistemático (siempre los mismos pasos, sin decidir qué despejar), es fácil de verificar porque queda registrado en cada fila, y es el que implementa cualquier software. Con 5 productos y 5 insumos, sustitución e igualación son inviables y Gauss sigue funcionando igual.

1 · Sistema. \(\begin{cases}120B+80P=52000\\ 90B+150P=67500\end{cases}\)

2 · Forma matricial. \(\begin{pmatrix}120&80\\90&150\end{pmatrix}\begin{pmatrix}B\\P\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}52000\\67500\end{pmatrix}\)

3 · Filas y columnas. Cada fila es un mes; la columna 1, las cantidades vendidas del paquete Básico; la columna 2, las del Premium; \(Y\), la recaudación de cada mes.

4 · Escalonamiento. Simplifico: \(F_1\to\tfrac{1}{40}F_1\) da \(3B+2P=1300\); \(F_2\to\tfrac{1}{30}F_2\) da \(3B+5P=2250\).

\[\left(\begin{array}{cc|c}3&2&1300\\3&5&2250\end{array}\right)\xrightarrow{F_2\to F_2-F_1} \left(\begin{array}{cc|c}3&2&1300\\0&3&950\end{array}\right)\]

5 · Resolución. \(3P=950\Rightarrow P=\dfrac{950}{3}\approx316{,}67\). Luego \(3B=1300-2\cdot\dfrac{950}{3}=\dfrac{3900-1900}{3}=\dfrac{2000}{3}\Rightarrow B=\dfrac{2000}{9}\approx222{,}22\).

6a · ¿Negativos? No: son precios, deben ser positivos. Un precio negativo indicaría datos incoherentes.

6b · ¿Decimales? Sí, y de hecho lo son: los precios admiten centavos. Este ejercicio es el contraste perfecto con el de la yerba (donde solo servían enteros): el tipo de magnitud decide qué soluciones son admisibles.

7 · Verificación. Mes 1: \(120\cdot\dfrac{2000}{9}+80\cdot\dfrac{950}{3} =\dfrac{240000}{9}+\dfrac{76000}{3}=\dfrac{240000+228000}{9}=\dfrac{468000}{9}=52000\) ✔
Mes 2: \(90\cdot\dfrac{2000}{9}+150\cdot\dfrac{950}{3}=20000+47500=67500\) ✔

8 · ¿Conviene el método matricial? Sí, sobre todo acá: al trabajar con fracciones, tener registradas las operaciones de fila permite verificar sin rehacer todo. Y si la empresa tuviera 6 tipos de paquete y 6 meses de datos, el planteo matricial sería el único camino razonable.

(a) Falso: hace falta además \(\det(A)\neq0\). Contraejemplo: \(\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\) tiene determinante 0 (la fila 2 es el doble de la fila 1).

(b) Verdadero: es el criterio de invertibilidad. Si \(\det A=0\) las filas son linealmente dependientes y no se puede llegar a la identidad por operaciones de fila.

(c) Verdadero: la suma se hace elemento a elemento y la suma de reales es conmutativa.

(d) Falso: ver el ejemplo con \(D\) y \(E\) de la Actividad 2 (los productos existen pero tienen distinto orden), o el par \(\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\).

(e) Verdadero: trasponer intercambia filas por columnas.

Paso 1. Cada fila es una ecuación; las columnas antes de la barra corresponden a \(x\), \(y\), \(z\).

Paso 2. Fila 1: \(2x+(-1)y+0z=5\), o sea \(2x-y=5\). Fila 2: \(0x+3y+1z=-2\), o sea \(3y+z=-2\).

Observación. Con 2 ecuaciones y 3 incógnitas es esperable que haya infinitas soluciones: efectivamente, tomando \(z=t\) se obtiene \(y=\frac{-2-t}{3}\) y \(x=\frac{5+y}{2}\).

Paso 1. Trasponer: la fila \((1,-2)\) se vuelve columna.

Paso 2. \(A+A^T=\begin{pmatrix}1+1&-2+0\\0-2&3+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-2\\-2&6\end{pmatrix}\). Notá que el resultado es simétrico: \(A+A^T\) siempre lo es.

Paso 3. \(\det A = 1\cdot3-0\cdot(-2)=3\); \(\det A^{T}=1\cdot3-(-2)\cdot0=3\). Se cumple la propiedad 6.

Paso 1 · aumentada y elección de pivote. Conviene poner arriba la fila con coeficiente 1 en \(x\): intercambio \(F_1\leftrightarrow F_2\) (operación elemental permitida).

\[\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&2&5\\2&1&-1&1\\3&2&1&10\end{array}\right)\]

Paso 2. \(F_2\to F_2-2F_1\): \((0,\,3,\,-5\mid -9)\). \(F_3\to F_3-3F_1\): \((0,\,5,\,-5\mid -5)\).

\[\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&2&5\\0&3&-5&-9\\0&5&-5&-5\end{array}\right)\]

Paso 3. \(F_3\to F_3-\tfrac53F_2\): segunda entrada \(5-5=0\); tercera \(-5-\tfrac53(-5)=\tfrac{10}{3}\); término independiente \(-5-\tfrac53(-9)=-5+15=10\).

\[\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&2&5\\0&3&-5&-9\\0&0&\tfrac{10}{3}&10\end{array}\right)\]

Paso 4 · sustitución hacia atrás. \(\tfrac{10}{3}z=10\Rightarrow z=3\); \(3y-5(3)=-9\Rightarrow 3y=6\Rightarrow y=2\); \(x-2+2(3)=5\Rightarrow x=1\).

Verificación. \(2(1)+2-3=1\) ✔; \(1-2+6=5\) ✔; \(3+4+3=10\) ✔.

Consejo: la sustitución hacia atrás es donde más errores aparecen; verificar en las ecuaciones originales (no en las escalonadas) es lo que los detecta.

Paso 1. \(AB\): \(C_{11}=1(3)+2(1)=5\); \(C_{12}=1(0)+2(2)=4\); \(C_{21}=0(3)+1(1)=1\); \(C_{22}=0(0)+1(2)=2\).

Paso 2. \(BA\): \(3(1)+0(0)=3\); \(3(2)+0(1)=6\); \(1(1)+2(0)=1\); \(1(2)+2(1)=4\).

Paso 3. \(\det A=1\cdot1-0\cdot2=1\); \(\det B=3\cdot2-1\cdot0=6\); \(\det(AB)=5\cdot2-1\cdot4=6\).

Paso 4 · propiedad. \(\det(A)\det(B)=1\cdot6=6=\det(AB)\) ✔ Y también \(\det(BA)=3\cdot4-1\cdot6=6\): aunque \(AB\neq BA\), sus determinantes coinciden.

Paso 1. No invertible \(\iff\det A=0\).

Paso 2. \(\det A=k\cdot k-3\cdot2=k^{2}-6\).

Paso 3. \(k^{2}-6=0\Rightarrow k^{2}=6\Rightarrow k=\pm\sqrt6\approx\pm2{,}449\).

Verificación con \(k=\sqrt6\): \(\det=6-6=0\) ✔. Para cualquier otro valor de \(k\) la matriz sí es invertible.

Paso 1. \(A=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}\), \(Y=\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}\). \(\det A=4-3=1\neq0\), así que \(A^{-1}\) existe.

Paso 2 · inversa. Por Gauss-Jordan (o por la fórmula \(2\times2\)): \(A^{-1}=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}\).

Paso 3 · aplicar \(X=A^{-1}Y\). \(\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}16-15\\-8+10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\).

Verificación. \(2(1)+3(2)=8\) ✔; \(1+2(2)=5\) ✔.

Cuándo conviene este método: cuando hay que resolver varios sistemas con la misma matriz \(A\) y distintos \(Y\): se calcula \(A^{-1}\) una sola vez y después cada solución es un producto.

Paso 1. \(F_2\to F_2-2F_1\): \((0,\,0,\,0\mid 1)\).

Paso 2. Esa fila se lee como la ecuación \(0x+0y+0z=1\), es decir \(0=1\): una contradicción.

Conclusión. No hace falta seguir escalonando: el sistema es incompatible. Geométricamente, los dos primeros planos son paralelos y distintos (los coeficientes son proporcionales pero los términos independientes no: \(\frac12=\frac24=\frac{-1}{-2}\neq\frac25\)).

Cómo reconocerlo: apenas aparece una fila \((0\ 0\ \cdots\ 0\mid k)\) con \(k\neq0\), el sistema es incompatible. Si en cambio aparece \((0\ 0\ \cdots\ 0\mid 0)\), es una ecuación redundante.

Anticipación. La tercera fila es exactamente el doble de la primera: \((4,-2,6)=2(2,-1,3)\). Por la propiedad 2 (filas proporcionales), el determinante es 0 sin hacer una sola cuenta.

Comprobación por Sarrus. Principales: \(2\cdot0\cdot6=0\); \((-1)(2)(4)=-8\); \(3\cdot1\cdot(-2)=-6\) → \(-14\). Secundarias: \(3\cdot0\cdot4=0\); \((-2)(2)(2)=-8\); \(6\cdot1\cdot(-1)=-6\) → \(-14\). \(\det=-14-(-14)=0\) ✔

Interpretación. Las filas son linealmente dependientes: el sistema asociado tiene una ecuación que no aporta información. El rango es 2 (Módulo 3), menor que 3, y por eso no hay inversa.

Paso 0 · control previo. \(\det N\) por la primera fila: \(1(1\cdot1-1\cdot1)-0+2(0\cdot1-1\cdot1)=0+2(-1)=-2\neq0\) → invertible.

Paso 1. \(\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&2&1&0&0\\0&1&1&0&1&0\\1&1&1&0&0&1\end{array}\right)\)

Paso 2. \(F_3\to F_3-F_1\): \((0,\,1,\,-1\mid -1,0,1)\).

Paso 3. \(F_3\to F_3-F_2\): \((0,\,0,\,-2\mid -1,-1,1)\).

Paso 4. \(F_3\to -\tfrac12F_3\): \((0,0,1\mid \tfrac12,\tfrac12,-\tfrac12)\).

Paso 5. \(F_2\to F_2-F_3\): \((0,1,0\mid -\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12)\).

Paso 6. \(F_1\to F_1-2F_3\): \((1,0,0\mid 1-1,\,0-1,\,0+1)=(1,0,0\mid 0,-1,1)\).

\[N^{-1}=\begin{pmatrix}0&-1&1\\-\tfrac12&\tfrac12&\tfrac12\\ \tfrac12&\tfrac12&-\tfrac12\end{pmatrix}\]

Verificación. Primera fila de \(N\) por primera columna de \(N^{-1}\): \(1(0)+0(-\tfrac12)+2(\tfrac12)=1\) ✔. Primera fila por segunda columna: \(1(-1)+0(\tfrac12)+2(\tfrac12)=-1+1=0\) ✔. Segunda fila por segunda columna: \(0(-1)+1(\tfrac12)+1(\tfrac12)=1\) ✔. Tercera fila por tercera columna: \(1(1)+1(\tfrac12)+1(-\tfrac12)=1\) ✔. Completando el resto de los productos se obtiene \(N\,N^{-1}=I_3\).

Control con el determinante: \(\det(N^{-1})\) debe valer \(1/\det(N)=-\tfrac12\), lo que es coherente con las fracciones \(\pm\tfrac12\) que aparecen en el resultado.

(a) Propiedad 6: \(\det(A^{T})=\det(A)=5\).

(b) Propiedad 7: \(\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det A}=\dfrac15\).

(c) Propiedad 5: \(\det(A\cdot A)=\det(A)\cdot\det(A)=25\).

(d) Ojo con esta: multiplicar toda la matriz por 2 equivale a multiplicar cada una de las 3 filas por 2, y cada fila multiplicada por \(k\) multiplica el determinante por \(k\). Entonces \(\det(2A)=2^{3}\det(A)=8\cdot5=40\). En general, \(\det(kA)=k^{n}\det(A)\) para una matriz \(n\times n\).

Error clásico: responder \(\det(2A)=2\det(A)=10\).

Paso 1 · sistema y matriz aumentada. Con \(x,y,z\) las unidades de A, B y C. Cada fila es una máquina y cada columna, un artículo:

\[\begin{cases}2x+3y+4z=34\\ x+2y+3z=22\\ 3x+y+2z=25\end{cases}\qquad \left(\begin{array}{ccc|c}2&3&4&34\\1&2&3&22\\3&1&2&25\end{array}\right)\]

Paso 2. \(F_1\leftrightarrow F_2\) para trabajar con pivote 1: \(\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&3&22\\2&3&4&34\\3&1&2&25\end{array}\right)\)

Paso 3. \(F_2\to F_2-2F_1=(0,-1,-2\mid-10)\); \(F_3\to F_3-3F_1=(0,-5,-7\mid-41)\).

Paso 4. \(F_3\to F_3-5F_2\): \(-5-5(-1)=0\); \(-7-5(-2)=3\); \(-41-5(-10)=9\).

\[\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&3&22\\0&-1&-2&-10\\0&0&3&9\end{array}\right)\]

Paso 5 · sustitución hacia atrás. \(3z=9\Rightarrow z=3\); \(-y-2(3)=-10\Rightarrow y=4\); \(x+2(4)+3(3)=22\Rightarrow x=5\).

Paso 6 · verificación. M1: \(2(5)+3(4)+4(3)=10+12+12=34\) ✔; M2: \(5+8+9=22\) ✔; M3: \(15+4+6=25\) ✔.

Interpretación. El plan de producción es realizable: los tres valores son enteros y positivos, y consumen exactamente todas las horas de cada máquina. Si alguno hubiera dado negativo o fraccionario, la conclusión sería que no existe un plan entero que agote los recursos, y habría que aceptar horas ociosas (problema de programación lineal, fuera del alcance de esta materia).

Paso 1 · inversas. \(\det A=1\Rightarrow A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\); \(\det B=1\Rightarrow B^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}\).

Paso 2 · producto. \(AB=\begin{pmatrix}2+2&1\\1+2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&1\\3&1\end{pmatrix}\), con \(\det(AB)=4-3=1=\det A\cdot\det B\) ✔

Paso 3 · \((AB)^{-1}\). \(\dfrac11\begin{pmatrix}1&-1\\-3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\-3&4\end{pmatrix}\).

Paso 4 · \(B^{-1}A^{-1}\). \(\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\-3&4\end{pmatrix}\) ✔ Coincide.

Paso 5 · el orden equivocado. \(A^{-1}B^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}1&-1\\-3&4\end{pmatrix}\).

Por qué se invierte el orden: \((AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I\). Es como desvestirse: primero el abrigo, después el suéter.

(a) La fila 2 es el doble de la fila 1 → \(\det(A)=0\) (propiedad 2).

(b) Como \(\det(A)=0\), \(A\) no es invertible y el sistema no puede ser compatible determinado: será incompatible o indeterminado, según el vector \(Y\).

(c) Aumentada: \(\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&4\\2&4&2&8\\1&1&1&3\end{array}\right)\). \(F_2\to F_2-2F_1\) da la fila nula \((0,0,0\mid0)\) → la segunda ecuación era redundante. \(F_3\to F_3-F_1\) da \((0,-1,0\mid-1)\Rightarrow y=1\).

De la fila 1: \(x+2(1)+z=4\Rightarrow x=2-z\). Con \(z=t\) libre: \(S=\{(2-t,\;1,\;t):t\in\mathbb R\}\).

Verificación con \(t=0\): \((2,1,0)\) → \(2+2+0=4\) ✔, \(4+4+0=8\) ✔, \(2+1+0=3\) ✔. Con \(t=2\): \((0,1,2)\) → \(0+2+2=4\) ✔, \(0+4+4=8\) ✔, \(0+1+2=3\) ✔.

Anticipo del Módulo 3: rango(\(A\)) = rango(\([A|Y]\)) = 2 < 3 incógnitas → infinitas soluciones con \(3-2=1\) parámetro. Es exactamente lo que obtuvimos.

Paso 1. \(\|v\|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\).

Paso 2. \(\|w\|=\sqrt{(-1)^2+4^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}\). Notá que el cuadrado elimina el signo.

Paso 3. \(\|u\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}\). La fórmula se extiende a cualquier dimensión.

Paso 4. \(\alpha_v=\arctan(2/3)=\arctan(0{,}667)\approx33{,}69^\circ\). Como \(v_1>0\) y \(v_2>0\), el vector está en el primer cuadrante y el resultado del arcotangente ya es el ángulo correcto.

Suma: \((3+(-1),\,2+4)=(2,6)\).

Escalares: \(2v=(6,4)\) (mismo sentido, el doble de largo); \(-v=(-3,-2)\) (mismo módulo, sentido opuesto); \(\tfrac12w=(-0{,}5,2)\) (mitad de largo).

\(v+u\): imposible. \(v\in\mathbb R^2\) y \(u\in\mathbb R^3\): la suma exige el mismo número de componentes.

Ecuación vectorial: \(v+x=w\Rightarrow x=w-v=(-1-3,\,4-2)=(-4,2)\). Verificación: \((3,2)+(-4,2)=(-1,4)=w\) ✔

Producto escalar: \(1(3)+2(0)+(-1)(2)=3+0-2=1\). Es positivo, así que el ángulo entre ellos es agudo.

Producto vectorial:

Componente \(i\): \((2)(2)-(-1)(0)=4\).
Componente \(j\): \(-\big((1)(2)-(-1)(3)\big)=-(2+3)=-5\).
Componente \(k\): \((1)(0)-(2)(3)=-6\).

\(u\times v=(4,-5,-6)\).

Módulo: \(\|u\|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt6\approx2{,}45\).

Verificación de perpendicularidad: \((4,-5,-6)\cdot(1,2,-1)=4-10+6=0\) ✔ y \((4,-5,-6)\cdot(3,0,2)=12+0-12=0\) ✔

(a) \(u\cdot v=2(-3)+3(2)=-6+6=0\) → perpendiculares. No son paralelos (no existe \(c\) con \((2,3)=c(-3,2)\): haría falta \(c=-2/3\) y \(c=3/2\) a la vez).

(b) \(v=-2u\), ya que \(-2(1,-2)=(-2,4)\) → paralelos. Como el escalar es negativo, tienen sentidos opuestos y el ángulo entre ellos es \(180^\circ\). Comprobación con el producto escalar: \(1(-2)+(-2)(4)=-10\neq0\), así que no son perpendiculares.

(c) \(u\cdot v=2+3=5\neq0\) → no perpendiculares. Y \((2,3)\neq c(1,1)\) para ningún \(c\) → no paralelos. Forman un ángulo \(\alpha=\arccos\frac{5}{\sqrt2\sqrt{13}}=\arccos(0{,}9806)\approx11{,}3^\circ\).

(a) \((3,6)=3(1,2)\): son proporcionales → LD. Con el determinante: \(\det\begin{pmatrix}1&3\\2&6\end{pmatrix}=6-6=0\) ✔

(b) El tercero es la suma de los dos primeros: \((1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0)\) → LD. Determinante: \(\det\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}=0\) (fila nula) ✔

(c) Determinante de la matriz con estos vectores como columnas:

\[\det\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}=1(1\cdot1-0\cdot1)-0+1(1\cdot1-1\cdot0)=1+1=2\neq0\]

→ LI. Como son 3 vectores LI en \(\mathbb R^3\), además forman una base (sección 3.9).

(a) Contiene \((0,0,0)\) ✔. Suma: si \(z_1=0\) y \(z_2=0\), la tercera componente de la suma es \(0\) ✔. Escalar: \(c\cdot0=0\) ✔. Es subespacio (es el plano \(xy\)).

(b) Contiene al nulo ✔ y es cerrado bajo la suma (suma de no negativos es no negativa) ✔, pero falla con los escalares: \((1,0,0)\in B\) y \((-1)\cdot(1,0,0)=(-1,0,0)\notin B\). No es subespacio. Lección: hay que verificar las cuatro condiciones.

(c) Nulo: \(0=2\cdot0\) ✔. Suma: si \(x_1=2y_1\) y \(x_2=2y_2\), entonces \(x_1+x_2=2(y_1+y_2)\) ✔. Escalar: \(cx=2(cy)\) ✔. Es subespacio (un plano por el origen).

Paso 1 · despejar. De \(x-y+z=0\): \(x=y-z\). Las variables libres son \(y\) y \(z\).

Paso 2 · vector genérico. \((x,y,z)=(y-z,\ y,\ z)\).

Paso 3 · factorizar. \((y-z,y,z)=y(1,1,0)+z(-1,0,1)\).

Paso 4 · base y dimensión. Los vectores \((1,1,0)\) y \((-1,0,1)\) generan \(S\) y son LI (no son proporcionales), así que forman una base y \(\dim S=2\).

Verificación. \((1,1,0)\): \(1-1+0=0\) ✔. \((-1,0,1)\): \(-1-0+1=0\) ✔.

Interpretación. \(S\) es un plano que pasa por el origen dentro de \(\mathbb R^3\): dimensión 2, una menos que el espacio ambiente, porque hay una ecuación que restringe.

Paso 1 · escalonar la ampliada.

\[\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&3\\2&4&2&6\\1&1&1&2\end{array}\right) \xrightarrow[F_3\to F_3-F_1]{F_2\to F_2-2F_1} \left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&3\\0&0&0&0\\0&-1&0&-1\end{array}\right)\]

Paso 2 · reordenar (fila nula al final): \(\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&3\\0&-1&0&-1\\0&0&0&0\end{array}\right)\)

Paso 3 · rangos. \(\operatorname{rango}(A)=2\) (dos filas no nulas en la parte izquierda) y \(\operatorname{rango}([A\mid Y])=2\) también.

Paso 4 · aplicar el teorema. Los rangos son iguales → hay solución. Y \(2<3\) incógnitas → infinitas soluciones, con \(3-2=1\) parámetro.

Paso 5 · describir la solución. De la fila 2: \(-y=-1\Rightarrow y=1\). De la fila 1: \(x+2+z=3\Rightarrow x=1-z\). Con \(z=t\): \(S=\{(1-t,\ 1,\ t):t\in\mathbb R\}\).

Verificación con \(t=0\): \((1,1,0)\) → \(1+2+0=3\) ✔, \(2+4+0=6\) ✔, \(1+1+0=2\) ✔.

(a) Sean \(u=(x_1,y_1,z_1)\), \(v=(x_2,y_2,z_2)\) y \(c\in\mathbb R\).
Izquierda: \(T(cu+v)=T(cx_1+x_2,\ cy_1+y_2,\ cz_1+z_2)=(cx_1+x_2+cy_1+y_2,\ cz_1+z_2)\).
Derecha: \(cT(u)+T(v)=c(x_1+y_1,\ z_1)+(x_2+y_2,\ z_2)=(cx_1+cy_1+x_2+y_2,\ cz_1+z_2)\).
Coinciden → es lineal.

(b) Núcleo: \(T(x,y,z)=(0,0)\Rightarrow\begin{cases}x+y=0\\ z=0\end{cases}\Rightarrow y=-x,\ z=0\). Con \(x=t\): \(\operatorname{Nu}(T)=\{(t,-t,0):t\in\mathbb R\}\), una recta por el origen → \(\operatorname{nul}(T)=1\) y una base del núcleo es \(\{(1,-1,0)\}\).

Imagen: dado cualquier \((a,b)\in\mathbb R^2\), tomando \((x,y,z)=(a,0,b)\) se obtiene \(T=(a,b)\). Entonces \(\operatorname{Im}(T)=\mathbb R^2\) y \(\operatorname{rg}(T)=2\).

Control: \(\operatorname{rg}+\operatorname{nul}=2+1=3=\dim\mathbb R^3\) ✔

(c) Matriz: \(T(1,0,0)=(1,0)\); \(T(0,1,0)=(1,0)\); \(T(0,0,1)=(0,1)\). Como columnas:

\[[T]=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\]

Es \(2\times3\): 2 filas (dimensión de llegada) y 3 columnas (dimensión de partida) ✔. Notá que su rango es 2, igual que el rango de la transformación: no es casualidad, son lo mismo.

Paso 1 · polinomio característico. \(\det\begin{pmatrix}3-\lambda&1\\0&2-\lambda\end{pmatrix}=(3-\lambda)(2-\lambda)-0=(3-\lambda)(2-\lambda)\).

Paso 2 · autovalores. \((3-\lambda)(2-\lambda)=0\Rightarrow\lambda=3\) o \(\lambda=2\). (Coincide con el atajo: es triangular, así que los autovalores son los elementos de la diagonal.)

Paso 3 · autovector para \(\lambda=3\). \((A-3I)v=\vec0\): \(\begin{pmatrix}0&1\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\Rightarrow y=0\), \(x\) libre. Tomando \(x=1\): \(v_1=(1,0)\).
Verificación: \(A(1,0)=(3,0)=3(1,0)\) ✔

Paso 4 · autovector para \(\lambda=2\). \((A-2I)v=\vec0\): \(\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\vec0\Rightarrow x+y=0\Rightarrow x=-y\). Tomando \(y=1\): \(v_2=(-1,1)\).
Verificación: \(A(-1,1)=(-3+1,\ 2)=(-2,2)=2(-1,1)\) ✔

Control con traza y determinante: \(3+2=5\) = traza \((3+2)\) ✔; \(3\cdot2=6=\det A=6\) ✔

1 · Representación. Cada vector se dibuja como una flecha desde el origen \((0,0)\) hasta su punto final:

2 · Vector fila y vector columna.

\[v=(3,\ 2)\quad\text{(fila)}\qquad v=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\quad\text{(columna)}\] \[u=(2,\ -1,\ 3)\quad\text{(fila)}\qquad u=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\quad\text{(columna)}\]

Observación. Son el mismo vector escrito de dos formas. La distinción importa cuando se multiplica por matrices: en \(AX=Y\), \(X\) e \(Y\) son vectores columna.

2 · Magnitudes. \(\|v\|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\); \(\|u\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}\).

3 · Dirección y sentido de \(v\). Del gráfico: \(v\) está sobre la recta que pasa por el origen con pendiente \(2/3\), es decir forma con el eje \(x\) un ángulo \(\alpha=\arctan(2/3)\approx33{,}7^\circ\). Su sentido es «hacia arriba y hacia la derecha» (ambas componentes positivas: primer cuadrante).

4 · Dirección y sentido de \(u\) sin gráfico. \(u=(2,-1,3)\) vive en \(\mathbb R^3\) y no se puede analizar con el ángulo respecto de un solo eje. La dirección se describe por la recta que lo contiene: el conjunto de los múltiplos \(t\,(2,-1,3)\). El sentido se lee en los signos de las componentes: avanza en el sentido positivo de \(x\) (\(+2\)), en el negativo de \(y\) (\(-1\)) y en el positivo de \(z\) (\(+3\)).

Ampliación: en \(\mathbb R^3\) la dirección suele darse con los cosenos directores, los cosenos de los ángulos con cada eje: \(\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{14}}\), \(\cos\beta=\frac{-1}{\sqrt{14}}\), \(\cos\gamma=\frac{3}{\sqrt{14}}\).

5 · Ejemplos.

• Vector nulo: \(\vec 0=(0,0)\) en \(\mathbb R^2\), o \((0,0,0)\) en \(\mathbb R^3\).
• Vector unidad: \(e_2=(0,1,0)\) en \(\mathbb R^3\) (un 1 en la posición 2, ceros en el resto).
• Vector unitario (módulo 1): \(\left(\tfrac35,\tfrac45\right)\), ya que \(\sqrt{\tfrac9{25}+\tfrac{16}{25}}=1\).
  Recordá la ambigüedad señalada en 3.2: el PDF llama «unitario» al de todas sus componentes iguales a 1, como \((1,1,1)\). Lo más seguro es dar un ejemplo y aclarar con qué definición se está trabajando.

1 · Suma algebraica. \(v+w=(3+(-1),\ 2+4)=(2,\ 6)\).

2 · Representación. Paralelogramo: se dibujan \(v\) y \(w\) desde el origen, se completa el paralelogramo trazando paralelas, y la diagonal desde el origen es \((2,6)\). Polígono: se dibuja \(v\) desde el origen y, a continuación, \(w\) desde la punta de \(v\); el vector que une el origen con la punta final es \((2,6)\). Los dos métodos dan el mismo resultado.

3 · Verificación de dos propiedades.

• Conmutativa: \(w+v=(-1+3,\ 4+2)=(2,6)=v+w\) ✔
• Elemento neutro: \(v+\vec0=(3+0,\ 2+0)=(3,2)=v\) ✔
• (También se puede verificar el opuesto: \(v+(-v)=(3-3,\ 2-2)=(0,0)=\vec0\) ✔)

4 · ¿Se puede sumar \(v\) con \(u\)? No. \(v\in\mathbb R^2\) tiene 2 componentes y \(u\in\mathbb R^3\) tiene 3. La suma de vectores exige que ambos tengan el mismo número de componentes (y sean del mismo tipo, fila o columna). No hay ninguna forma válida de «completar con un cero»: son vectores de espacios distintos.

5 · Ecuación vectorial. \(v+x=w\Rightarrow x=w-v=(-1-3,\ 4-2)=(-4,\ 2)\). Verificación: \((3,2)+(-4,2)=(-1,4)=w\) ✔

1 · Cálculos. \(2v=(2\cdot3,\ 2\cdot2)=(6,4)\); \(-v=(-3,-2)\); \(\tfrac12w=\left(-\tfrac12,\ 2\right)\); \(3u=(6,-3,9)\).

2 · Verificación de dos propiedades.

• Distributiva respecto de la suma de vectores: \(2(v+w)=2(2,6)=(4,12)\), y \(2v+2w=(6,4)+(-2,8)=(4,12)\) ✔
• Asociatividad de escalares: \(2(3v)=2(9,6)=(18,12)\) y \((2\cdot3)v=6(3,2)=(18,12)\) ✔

3 · ¿Para qué \(k\) conserva el sentido? Para todo \(k>0\). Si \(k>1\) además se alarga; si \(0<k<1\) se acorta, pero el sentido no cambia. Con \(k<0\) el sentido se invierte y con \(k=0\) se obtiene el vector nulo (que no tiene sentido definido).

4 · Representación. Los tres vectores están sobre la misma recta (la de pendiente \(2/3\) por el origen): \(2v\) es el doble de largo que \(v\) y apunta igual; \(-v\) tiene el mismo largo que \(v\) y apunta al lado opuesto (tercer cuadrante).

5 · Cómo cambian las tres propiedades.

Notá que el PDF (p. 76) dice que multiplicar por \(-1\) da «magnitud distinta»: no es así, el módulo se conserva porque \(|-1|=1\).

6 · ¿Existen otros vectores con la misma magnitud que \(v\)? Sí, infinitos. Todos los vectores cuyo extremo esté sobre la circunferencia de radio \(\sqrt{13}\) centrada en el origen. Por ejemplo \((-3,2)\), \((2,3)\), \((\sqrt{13},0)\): todos tienen módulo \(\sqrt{13}\) y direcciones distintas. Esto muestra que el módulo no determina al vector: hacen falta también dirección y sentido.

1 · Producto escalar. \(u\cdot v=1(2)+(-1)(1)+2(0)=2-1+0=1\).

2 · Módulos. \(\|u\|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt6\approx2{,}449\); \(\|v\|=\sqrt{4+1+0}=\sqrt5\approx2{,}236\); \(\|w\|=\sqrt{9+0+1}=\sqrt{10}\approx3{,}162\).

3 · Ángulo.

\[\cos\alpha=\frac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|}=\frac{1}{\sqrt6\cdot\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt{30}}\approx0{,}1826\] \[\alpha=\arccos(0{,}1826)\approx79{,}48^\circ\]

4 · Interpretación geométrica. El producto escalar dio positivo pero muy chico comparado con el producto de los módulos (\(\sqrt{30}\approx5{,}48\)). Eso significa que el ángulo es agudo pero cercano a \(90^\circ\): los vectores apuntan «casi» en direcciones perpendiculares. Si el producto escalar hubiera dado 0 serían exactamente perpendiculares; si hubiera dado negativo, el ángulo sería obtuso.

Criterio de perpendicularidad (producto escalar nulo):

• \(u\cdot v=1(2)+(-1)(1)+2(0)=1\neq0\) → no perpendiculares.
• \(u\cdot w=1(3)+(-1)(0)+2(1)=3+0+2=5\neq0\) → no perpendiculares.
• \(v\cdot w=2(3)+1(0)+0(1)=6\neq0\) → no perpendiculares.

Criterio de paralelismo (uno múltiplo del otro, es decir componentes proporcionales):

• \(u\) y \(v\): \(\frac21\ne\frac{1}{-1}\) → no proporcionales, no paralelos.
• \(u\) y \(w\): \(\frac31\ne\frac{0}{-1}\) → no paralelos.
• \(v\) y \(w\): \(\frac32\ne\frac01\) → no paralelos.

Otro criterio válido para el paralelismo en \(\mathbb R^3\): dos vectores son paralelos si y solo si su producto vectorial es el vector nulo. Como \(u\times v=(-2,4,3)\neq\vec 0\), no son paralelos.

Conclusión. Los tres vectores forman entre sí ángulos que no son ni \(0^\circ\), ni \(180^\circ\), ni \(90^\circ\): están «en posición general», que es el caso más habitual.

1 · Cálculo.

\[u\times v=\begin{vmatrix}i&j&k\\1&-1&2\\2&1&0\end{vmatrix}\]

Componente \(i\): \((-1)(0)-(2)(1)=-2\).
Componente \(j\) (con el signo menos del desarrollo): \(-\big[(1)(0)-(2)(2)\big]=-(-4)=4\).
Componente \(k\): \((1)(1)-(-1)(2)=1+2=3\).

\(u\times v=(-2,4,3)\).

2 · Verificación de perpendicularidad.

\((u\times v)\cdot u=(-2)(1)+(4)(-1)+(3)(2)=-2-4+6=0\) ✔

\((u\times v)\cdot v=(-2)(2)+(4)(1)+(3)(0)=-4+4+0=0\) ✔

3 · Significado geométrico. \(u\times v\) es un vector perpendicular al plano que contienen \(u\) y \(v\). Además, su módulo \(\|u\times v\|=\sqrt{4+16+9}=\sqrt{29}\approx5{,}39\) es el área del paralelogramo determinado por \(u\) y \(v\).

4 · Regla de la mano derecha. Colocando \(u\) sobre el índice y \(v\) sobre el dedo medio, el pulgar apunta en el sentido de \(u\times v\). Si se invirtiera el orden (\(v\times u\)), el pulgar apuntaría al lado contrario: efectivamente \(v\times u=(2,-4,-3)=-(u\times v)\), que es la propiedad anticonmutativa.

Paso 1 · plantear. Busco \(a,b\) tales que \(w=a\,u+b\,v\):

\[(3,0,1)=a(1,-1,2)+b(2,1,0)=(a+2b,\ -a+b,\ 2a)\]

Paso 2 · sistema. \(\begin{cases}a+2b=3\\ -a+b=0\\ 2a=1\end{cases}\)

Paso 3 · resolver. De la tercera: \(a=\tfrac12\). De la segunda: \(b=a=\tfrac12\). Reemplazando en la primera: \(\tfrac12+2\cdot\tfrac12=\tfrac32\), pero debía dar \(3\). Contradicción.

Paso 4 · conclusión. El sistema es incompatible: no existen escalares que funcionen. Por lo tanto \(w\) no es combinación lineal de \(u\) y \(v\).

Interpretación geométrica. \(u\) y \(v\) son LI, así que generan un plano que pasa por el origen. Que \(w\) no sea combinación lineal de ellos significa que \(w\) no pertenece a ese plano: apunta «fuera». Por eso, agregándolo, los tres juntos generan todo \(\mathbb R^3\).

(a) \(\{u,v\}\) — criterio de combinación lineal. Planteo \(c_1(1,-1,2)+c_2(2,1,0)=(0,0,0)\):

\[\begin{cases}c_1+2c_2=0\\ -c_1+c_2=0\\ 2c_1=0\end{cases}\]

De la tercera: \(c_1=0\); de la segunda: \(c_2=0\). Solo la solución trivial → LI.

(a) — criterio práctico. Con solo dos vectores alcanza con ver que no son proporcionales: \(\frac21\neq\frac{1}{-1}\) → LI. (El criterio del determinante no se puede aplicar directamente porque la matriz \(3\times2\) no es cuadrada; en su lugar se usa el rango, que vale 2 = cantidad de vectores → LI.)

(b) \(\{u,v,w\}\) — criterio del determinante. Armo la matriz con los tres vectores como columnas:

\[M=\begin{pmatrix}1&2&3\\-1&1&0\\2&0&1\end{pmatrix}\] \[\det M = 1\,(1\cdot1-0\cdot0)-2\,\big((-1)(1)-0\cdot2\big)+3\,\big((-1)(0)-1\cdot2\big)=1+2-6=-3\]

\(\det M=-3\neq0\) → el conjunto es LI.

(b) — coherencia con la Parte 4. Que sean LI es exactamente lo mismo que haber probado que \(w\) no es combinación lineal de \(u\) y \(v\): si lo fuera, existiría una combinación no trivial igual al vector nulo y el determinante sería 0.

Conclusión extra. Tres vectores LI en \(\mathbb R^3\) forman una base de \(\mathbb R^3\).

1 · Normalización.

\[\hat u=\frac{u}{\|u\|}=\frac{1}{\sqrt6}(1,-1,2)=\left(\frac{1}{\sqrt6},\ \frac{-1}{\sqrt6},\ \frac{2}{\sqrt6}\right)\approx(0{,}408,\ -0{,}408,\ 0{,}816)\] \[\hat v=\frac{v}{\|v\|}=\frac{1}{\sqrt5}(2,1,0)=\left(\frac{2}{\sqrt5},\ \frac{1}{\sqrt5},\ 0\right)\approx(0{,}894,\ 0{,}447,\ 0)\]

Comprobación de los módulos: \(\|\hat u\|=\sqrt{\tfrac16+\tfrac16+\tfrac46}=\sqrt{1}=1\) ✔; \(\|\hat v\|=\sqrt{\tfrac45+\tfrac15}=1\) ✔

2 · ¿Son ortogonales?

\[\hat u\cdot\hat v=\frac{1}{\sqrt6}\cdot\frac{2}{\sqrt5}+\frac{-1}{\sqrt6}\cdot\frac{1}{\sqrt5}+\frac{2}{\sqrt6}\cdot 0 =\frac{2-1}{\sqrt{30}}=\frac{1}{\sqrt{30}}\approx0{,}183\neq0\]

No son ortogonales. Y como la ortogonalidad es un requisito de la ortonormalidad, tampoco forman un conjunto ortonormal, aunque cada uno tenga módulo 1.

Observación: normalizar no cambia el ángulo entre los vectores. Como \(u\) y \(v\) formaban \(79{,}5^\circ\) (Parte 1), sus versores también, y \(\cos(79{,}5^\circ)=1/\sqrt{30}\), exactamente lo obtenido.

3 · Diferencia entre los conceptos.

Todo conjunto ortonormal es ortogonal; el recíproco no vale. Un conjunto ortogonal de vectores no nulos siempre se puede convertir en ortonormal normalizando cada vector.

1a · \(\mathbb R^2\). Sí es espacio vectorial: con la suma componente a componente y el producto por escalares se cumplen las ocho propiedades (conmutativa, asociativa, vector cero \((0,0)\), opuestos, las dos distributivas, asociatividad de escalares e identidad \(1\cdot v=v\)). Es el ejemplo estándar.

1b · Vectores de \(\mathbb R^3\) con tercera componente nula. Sí: es el conjunto \(\{(x,y,0)\}\), que contiene al vector nulo, es cerrado bajo la suma (\(0+0=0\) en la tercera componente) y bajo el producto por escalares (\(c\cdot0=0\)). Al ser un subespacio de \(\mathbb R^3\), es en sí mismo un espacio vectorial (de dimensión 2: se identifica naturalmente con el plano \(xy\)).

2a · \(S_1=\{(x,y,0)\}\). Es subespacio. Verificación:

• \(S_1\subseteq\mathbb R^3\) ✔
• Contiene al nulo: \((0,0,0)\in S_1\) ✔
• Cerrado bajo la suma: \((x_1,y_1,0)+(x_2,y_2,0)=(x_1+x_2,\ y_1+y_2,\ 0)\), que tiene tercera componente 0 ✔
• Cerrado bajo escalares: \(c(x,y,0)=(cx,cy,0)\) ✔

2b · \(S_2=\{(x,y,z):x+y+z=1\}\). No es subespacio. Basta la primera verificación: el vector nulo no pertenece, porque \(0+0+0=0\neq1\). También falla el cierre: \((1,0,0)\) y \((0,1,0)\) están en \(S_2\), pero su suma \((1,1,0)\) da \(2\neq1\). Geométricamente, es un plano que no pasa por el origen.

3 · Condiciones para ser subespacio. Un conjunto \(W\) es subespacio de \(V\) si: (i) \(W\subseteq V\); (ii) contiene al vector nulo; (iii) es cerrado bajo la suma; (iv) es cerrado bajo el producto por escalares. En la práctica conviene empezar por (ii): si falla, ya no hace falta seguir.

1 · Base de \(S\). De \(x-y+z=0\) despejo \(x=y-z\), quedando \(y\) y \(z\) como variables libres:

\[(x,y,z)=(y-z,\ y,\ z)=y\,(1,1,0)+z\,(-1,0,1)\]

Entonces \(B=\{(1,1,0),\ (-1,0,1)\}\) genera \(S\), y es LI porque los dos vectores no son proporcionales. Verificación de pertenencia: \(1-1+0=0\) ✔ y \(-1-0+1=0\) ✔

2 · Dimensión. \(\dim S=2\) (la base tiene dos vectores). Tiene sentido: una ecuación restringe una dimensión dentro de \(\mathbb R^3\).

3 · Qué significa que un conjunto sea base. Con mis palabras: es un conjunto de vectores que alcanza para construir cualquier vector del espacio (lo genera) y que no tiene ninguno de sobra (es LI). Es el «mínimo indispensable» para describir el espacio, y cada vector se escribe de una única manera como combinación lineal de la base.

4 · ¿\(\{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)\}\) es base de \(\mathbb R^3\)? No, por dos motivos:

• No es LI: el tercer vector es la suma de los dos primeros, \((1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0)\). Existe una combinación no trivial nula: \(1\,(1,0,0)+1\,(0,1,0)-1\,(1,1,0)=\vec0\). El determinante de la matriz asociada es 0.
• No genera \(\mathbb R^3\): todos los vectores tienen tercera componente 0, así que cualquier combinación lineal también la tendrá. El vector \((0,0,1)\), por ejemplo, es inalcanzable.

Los tres vectores generan el plano \(z=0\), que tiene dimensión 2: por eso tres vectores no pueden ser una base de él (sobra uno) ni de \(\mathbb R^3\) (falta una dirección).

1 · Ortogonalidad. \(v_1\cdot v_2=1(1)+1(-1)+0(0)=1-1=0\) ✔ Son ortogonales.

2 · Normalización. \(\|v_1\|=\|v_2\|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt2\), así que

\[\hat v_1=\left(\tfrac{1}{\sqrt2},\ \tfrac{1}{\sqrt2},\ 0\right)\approx(0{,}707,\ 0{,}707,\ 0),\qquad \hat v_2=\left(\tfrac{1}{\sqrt2},\ -\tfrac{1}{\sqrt2},\ 0\right)\approx(0{,}707,\ -0{,}707,\ 0)\]

3 · ¿Ortonormal? Sí: \(\|\hat v_1\|=\sqrt{\tfrac12+\tfrac12}=1\) ✔, \(\|\hat v_2\|=1\) ✔ y \(\hat v_1\cdot\hat v_2=\tfrac12-\tfrac12+0=0\) ✔

4 · Diferencia entre base ortogonal y ortonormal. Una base ortogonal exige que sus vectores sean perpendiculares dos a dos; una base ortonormal exige además que todos tengan módulo 1. Toda base ortogonal de vectores no nulos se convierte en ortonormal dividiendo cada vector por su módulo, y la ventaja práctica de las ortonormales es que las coordenadas de cualquier vector se calculan con simples productos escalares.

Precisión. Estos dos vectores forman una base ortonormal del plano \(z=0\), no de \(\mathbb R^3\): para una base de \(\mathbb R^3\) harían falta tres vectores. Agregando \((0,0,1)\) —que es ortogonal a ambos y tiene módulo 1— se obtiene una base ortonormal de \(\mathbb R^3\).

1 · Rango. Escalono: \(F_2\to F_2-2F_1\) da \((0,0,0)\) y \(F_3\to F_3-F_1\) da \((0,0,0)\):

\[A\ \longrightarrow\ \begin{pmatrix}1&2&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\]

Queda una sola fila no nula → \(\operatorname{rango}(A)=1\). Se ve directamente: la fila 2 es el doble de la fila 1 y la fila 3 es igual a la fila 1; las tres filas son proporcionales.

2 · Sistema asociado. Tomando \(AX=\vec 0\) (sistema homogéneo):

\[\begin{cases}x+2y+z=0\\ 2x+4y+2z=0\\ x+2y+z=0\end{cases}\]

Las tres ecuaciones dicen lo mismo: el sistema se reduce a \(x+2y+z=0\).

3 · Rouché–Frobenius. La matriz ampliada es \([A\mid \vec0]\), y agregar una columna de ceros no cambia el rango: \(\operatorname{rango}(A)=\operatorname{rango}([A\mid Y])=1\).

• Los rangos coinciden → el sistema tiene solución.
• \(1<3\) (número de incógnitas) → compatible indeterminado, con \(3-1=2\) parámetros.

4 · Conjunto solución. De \(x=-2y-z\), con \(y=s\) y \(z=t\) libres:

\[S=\{(-2s-t,\ s,\ t)\}=s(-2,1,0)+t(-1,0,1)\]

Es un plano que pasa por el origen (dimensión 2), coherente con los 2 parámetros. Verificación con \((-2,1,0)\): \(-2+2+0=0\) ✔; con \((-1,0,1)\): \(-1+0+1=0\) ✔

Observación. Si en lugar del sistema homogéneo se tomara un \(Y\) cualquiera, por ejemplo \(Y=(1,0,0)\), el rango de la ampliada sería 2 ≠ 1 y el sistema sería incompatible. La clasificación depende de \(Y\), no solo de \(A\).

1 · Linealidad. Sean \(p=(x_1,y_1)\), \(q=(x_2,y_2)\) y \(c\in\mathbb R\).

Lado izquierdo: \(c\,p+q=(cx_1+x_2,\ cy_1+y_2)\), y

\[T(c\,p+q)=\big((cx_1+x_2)+2(cy_1+y_2),\ \ cy_1+y_2\big)=(cx_1+2cy_1+x_2+2y_2,\ \ cy_1+y_2)\]

Lado derecho:

\[c\,T(p)+T(q)=c(x_1+2y_1,\ y_1)+(x_2+2y_2,\ y_2)=(cx_1+2cy_1+x_2+2y_2,\ \ cy_1+y_2)\]

Coinciden → \(T\) es lineal. (Control rápido: \(T(0,0)=(0,0)\) ✔, y cada componente de salida es combinación lineal de las entradas, sin constantes ni potencias.)

2a · Núcleo. \(T(x,y)=(0,0)\Rightarrow\begin{cases}x+2y=0\\ y=0\end{cases}\Rightarrow y=0\) y entonces \(x=0\). Por lo tanto \(\operatorname{Nu}(T)=\{(0,0)\}\).

2b · Imagen. Dado cualquier \((a,b)\in\mathbb R^2\), busco \((x,y)\) con \(T(x,y)=(a,b)\): de \(y=b\) y \(x+2b=a\) sale \(x=a-2b\). Siempre existe, así que \(\operatorname{Im}(T)=\mathbb R^2\).

3 · Rango y nulidad. \(\operatorname{rg}(T)=\dim\operatorname{Im}(T)=2\); \(\operatorname{nul}(T)=\dim\operatorname{Nu}(T)=0\). Control: \(2+0=2=\dim\mathbb R^2\) ✔

4 · Matriz en la base canónica. \(T(1,0)=(1,0)\) y \(T(0,1)=(2,1)\); esas imágenes van como columnas:

\[[T]=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\]

Verificación: \(\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+2y\\y\end{pmatrix}\) ✔

Interpretación geométrica. Es una transvección (shear): desplaza horizontalmente cada punto en proporción a su altura. Su determinante vale 1, así que conserva las áreas y es invertible: coherente con nulidad 0.

1 · Autovalores. Polinomio característico:

\[\det(B-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda&0\\0&3-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(3-\lambda)=0\]

→ \(\lambda_1=2\) y \(\lambda_2=3\). (Atajo: \(B\) es diagonal, así que los autovalores son directamente los elementos de su diagonal principal.)

2 · Autovectores.

Para \(\lambda_1=2\): \((B-2I)v=\vec0\Rightarrow\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\vec0\Rightarrow y=0\), con \(x\) libre. Tomando \(x=1\): \(v_1=(1,0)\).
Verificación: \(B(1,0)=(2,0)=2(1,0)\) ✔

Para \(\lambda_2=3\): \((B-3I)v=\vec0\Rightarrow\begin{pmatrix}-1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\vec0\Rightarrow x=0\), con \(y\) libre. Tomando \(y=1\): \(v_2=(0,1)\).
Verificación: \(B(0,1)=(0,3)=3(0,1)\) ✔

Control: suma de autovalores \(2+3=5\) = traza de \(B\) ✔; producto \(2\cdot3=6=\det B\) ✔

3 · Interpretación geométrica. \(B\) estira el plano: duplica todo lo que está en la dirección horizontal y lo triplica en la dirección vertical. Los autovectores son justamente esas dos direcciones privilegiadas —los ejes \(x\) e \(y\)— que la transformación no rota: solo las escala. Los autovalores (2 y 3) son los factores de escala. Un círculo unitario se transformaría en una elipse de semiejes 2 y 3.

4 · Aplicaciones.

• Ciencia de datos: el análisis de componentes principales (PCA) calcula los autovectores de la matriz de covarianza para encontrar las direcciones de mayor variabilidad y reducir dimensiones.
• Física / ingeniería: los modos normales de vibración de una estructura (un puente, un edificio) son autovectores, y los autovalores dan las frecuencias propias: por eso importan en el diseño antisísmico.
• Informática: el algoritmo PageRank de Google identifica el autovector principal de la matriz de enlaces de la web para ordenar los resultados.
• Matemática: permiten diagonalizar una matriz, es decir, escribirla como \(A=PDP^{-1}\) con \(D\) diagonal, lo que simplifica enormemente el cálculo de potencias \(A^k\) y la resolución de sistemas dinámicos.

(a) Falsa. El módulo es una longitud: \(\|u\|=\sqrt{\sum u_i^2}\ge0\). Vale 0 solo para el vector nulo.

(b) Falsa. Producto escalar nulo significa perpendicularidad. Contraejemplo: \((1,0)\cdot(0,1)=0\) y ninguno de los dos es nulo. (Eso sí, el vector nulo es ortogonal a todos.)

(c) Verdadera. Como \(T(\vec0)=\vec0\) para toda transformación lineal, el vector nulo siempre está en el núcleo. Por eso el núcleo nunca es vacío; puede ser \(\{\vec0\}\), y entonces la nulidad es 0.

(d) Verdadera. \(\dim\mathbb R^3=3\), y cualquier conjunto con más de \(n\) vectores en un espacio de dimensión \(n\) es linealmente dependiente.

(e) Verdadera. Todas las bases de un mismo espacio de dimensión finita tienen la misma cantidad de elementos, que es justamente la dimensión.

Módulos. \(\|u\|=\sqrt{1+4+4}=\sqrt9=3\); \(\|v\|=\sqrt{4+1+4}=\sqrt9=3\).

Suma. \((1+2,\ 2-1,\ 2+2)=(3,1,4)\).

Producto escalar. \(1(2)+2(-1)+2(2)=2-2+4=4\).

Ángulo. \(\cos\alpha=\dfrac{4}{3\cdot3}=\dfrac49\approx0{,}444\Rightarrow\alpha=\arccos(0{,}444)\approx63{,}6^\circ\).

Lectura: producto escalar positivo → ángulo agudo, y efectivamente \(63{,}6^\circ<90^\circ\) ✔

Paso 1. \(\|v\|=\sqrt{0+9+16}=\sqrt{25}=5\).

Paso 2. \(\hat v=\dfrac{1}{5}(0,3,4)=(0,\ 0{,}6,\ 0{,}8)\).

Paso 3 · verificación. \(\|\hat v\|=\sqrt{0+0{,}36+0{,}64}=\sqrt1=1\) ✔

Observación. Normalizar cambia la longitud, no la dirección ni el sentido: \(\hat v\) es un múltiplo positivo de \(v\).

\(u\) y \(v\): \(u=2v\) porque \(2(1,2,3)=(2,4,6)\). Existe un escalar → son paralelos, y como \(c=2>0\), tienen el mismo sentido.

\(a\) y \(b\): ¿existe \(c\) con \((1,2)=c(2,-1)\)? Haría falta \(c=\tfrac12\) por la primera componente y \(c=-2\) por la segunda: imposible → no son paralelos.

Perpendicularidad: \(a\cdot b=1(2)+2(-1)=2-2=0\) → sí son perpendiculares.

Paso 1 · plantear. \((5,3)=a(1,1)+b(2,0)=(a+2b,\ a)\).

Paso 2 · sistema. \(\begin{cases}a+2b=5\\ a=3\end{cases}\)

Paso 3 · resolver. \(a=3\); reemplazando: \(3+2b=5\Rightarrow b=1\).

Paso 4 · verificar. \(3(1,1)+1(2,0)=(3,3)+(2,0)=(5,3)\) ✔

Observación. Como \(u\) y \(v\) son LI y son dos vectores en \(\mathbb R^2\), forman una base: por eso cualquier vector del plano es combinación lineal de ellos, y de forma única.

(a) El segundo vector es el doble del primero: \((2,4,6)=2(1,2,3)\). Existe la combinación no trivial \(2\,(1,2,3)-1\,(2,4,6)=\vec0\) → LD. (Con dos vectores, ser LD equivale a ser proporcionales.)

(b) Son tres vectores en \(\mathbb R^3\): uso el determinante de la matriz que los tiene como columnas.

\[\det\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix} =1\,(1\cdot0-1\cdot1)-0\,(\cdots)+1\,(0\cdot1-1\cdot1)=-1-1=-2\]

\(\det=-2\neq0\) → LI. Y al ser tres vectores LI en \(\mathbb R^3\), también forman una base.

(a) Contiene el nulo (\(0=3\cdot0\)) ✔. Suma: si \(y_1=3x_1\) e \(y_2=3x_2\), entonces \(y_1+y_2=3(x_1+x_2)\) ✔. Escalar: \(cy=3(cx)\) ✔. Es subespacio: la recta \(y=3x\) que pasa por el origen.

(b) No contiene al nulo: \(0\neq3(0)+1\) ✘. No es subespacio (recta que no pasa por el origen).

(c) Contiene el nulo (\(0\cdot0=0\)) ✔, pero no es cerrado bajo la suma: \((1,0)\in V\) y \((0,1)\in V\), pero \((1,0)+(0,1)=(1,1)\) tiene \(xy=1\neq0\) ✘. No es subespacio. Geométricamente es la unión de los dos ejes, y una unión de rectas no es un subespacio (salvo que coincidan).

Lección: contener al vector nulo es necesario pero no suficiente.

Paso 1 · despejar. \(x=-y\). Las variables libres son \(y\) y \(z\) (sobre \(z\) no hay ninguna condición).

Paso 2 · vector genérico. \((x,y,z)=(-y,\ y,\ z)\).

Paso 3 · factorizar. \((-y,y,z)=y\,(-1,1,0)+z\,(0,0,1)\).

Paso 4 · conclusión. Los vectores \((-1,1,0)\) y \((0,0,1)\) generan \(W\) y son LI (no son proporcionales) → forman una base y \(\dim W=2\).

Verificación. \((-1,1,0)\): \(-1+1=0\) ✔; \((0,0,1)\): \(0+0=0\) ✔

Paso 1 · desarrollo.

Componente \(i\): \((0)(1)-(1)(1)=-1\).
Componente \(j\): \(-\big[(1)(1)-(1)(0)\big]=-1\).
Componente \(k\): \((1)(1)-(0)(0)=1\).

\((1,0,1)\times(0,1,1)=(-1,-1,1)\).

Paso 2 · verificación. \((-1,-1,1)\cdot(1,0,1)=-1+0+1=0\) ✔; \((-1,-1,1)\cdot(0,1,1)=0-1+1=0\) ✔

Paso 3 · área. \(\|(-1,-1,1)\|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3\). El módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo determinado por los dos vectores.

Paso 1 · matrices. \(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\end{pmatrix}\), \([A\mid Y]=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\2&2&2&3\end{array}\right)\).

Paso 2 · rango de \(A\). La segunda fila es el doble de la primera → al escalonar queda una sola fila no nula → \(\operatorname{rango}(A)=1\).

Paso 3 · rango de la ampliada. \(F_2\to F_2-2F_1\) da \((0,0,0\mid1)\): una fila no nula más. \(\operatorname{rango}([A\mid Y])=2\).

Paso 4 · teorema. \(1\neq2\): los rangos son distintos → el sistema no tiene solución.

Interpretación. La fila \((0,0,0\mid1)\) es la ecuación \(0=1\). Geométricamente, son dos planos paralelos distintos.

1 · Linealidad. Cada componente de salida (\(2x\) y \(x+y\)) es una combinación lineal de las entradas, sin constantes ni potencias, y \(T(0,0)=(0,0)\). Formalmente: \(T(cu+v)=\big(2(cx_1+x_2),\ (cx_1+x_2)+(cy_1+y_2)\big)=c(2x_1,\ x_1+y_1)+(2x_2,\ x_2+y_2)=cT(u)+T(v)\) ✔

2 · Matriz. \(T(1,0)=(2,1)\) y \(T(0,1)=(0,1)\), como columnas: \([T]=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}\).

3 · Núcleo. \(2x=0\) y \(x+y=0\) → \(x=0\), \(y=0\). \(\operatorname{Nu}(T)=\{(0,0)\}\), \(\operatorname{nul}(T)=0\), y por el teorema de la dimensión \(\operatorname{rg}(T)=2\): la imagen es todo \(\mathbb R^2\).

4 · Autovalores. \(\det\begin{pmatrix}2-\lambda&0\\1&1-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(1-\lambda)=0\) → \(\lambda_1=2\), \(\lambda_2=1\) (coinciden con la diagonal, porque la matriz es triangular).

5 · Autovectores.

\(\lambda=2\): \((A-2I)v=\vec0\Rightarrow\begin{pmatrix}0&0\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\vec0\Rightarrow x-y=0\Rightarrow x=y\). Tomando \(x=1\): \(v_1=(1,1)\). Verificación: \(T(1,1)=(2,\ 1+1)=(2,2)=2(1,1)\) ✔

\(\lambda=1\): \(\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\vec0\Rightarrow x=0\), \(y\) libre. Tomando \(y=1\): \(v_2=(0,1)\). Verificación: \(T(0,1)=(0,1)=1\cdot(0,1)\) ✔

Control: suma de autovalores \(=3=\) traza \((2+1)\) ✔; producto \(=2=\det\) ✔

Paso 1 · polinomio característico.

\[\det\begin{pmatrix}4-\lambda&1\\2&3-\lambda\end{pmatrix}=(4-\lambda)(3-\lambda)-2=\lambda^{2}-7\lambda+10\]

Paso 2 · raíces. \(\lambda^2-7\lambda+10=(\lambda-5)(\lambda-2)=0\Rightarrow\lambda=5\) o \(\lambda=2\).

Paso 3 · autovector para \(\lambda=5\). \((A-5I)v=\vec0\): \(\begin{pmatrix}-1&1\\2&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\vec0\Rightarrow -x+y=0\Rightarrow y=x\). Con \(x=1\): \(v_1=(1,1)\). Verificación: \(A(1,1)=(4+1,\ 2+3)=(5,5)=5(1,1)\) ✔

Paso 4 · autovector para \(\lambda=2\). \(\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\vec0\Rightarrow 2x+y=0\Rightarrow y=-2x\). Con \(x=1\): \(v_2=(1,-2)\). Verificación: \(A(1,-2)=(4-2,\ 2-6)=(2,-4)=2(1,-2)\) ✔

Control: \(5+2=7=\) traza \((4+3)\) ✔; \(5\cdot2=10=\det A=12-2=10\) ✔

Paso 1 · matriz con los vectores como filas.

\[\begin{pmatrix}1&2&-1\\2&4&-2\\0&1&1\end{pmatrix}\]

Paso 2 · reducir. \(F_2\to F_2-2F_1\) da la fila nula \((0,0,0)\): \(v\) era el doble de \(u\), no aportaba nada. Luego \(F_1\to F_1-2F_3\) da \((1,0,-3)\), y reordenando la fila nula al final:

\[\begin{pmatrix}1&0&-3\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}\]

Paso 3 · conclusión. Quedan dos filas no nulas → una base del subespacio es \(\{(1,0,-3),\ (0,1,1)\}\) y la dimensión es 2. También sirve como base el conjunto original sin el vector redundante: \(\{(1,2,-1),\ (0,1,1)\}\).

Verificación. \((1,0,-3)=u-2w=(1,2,-1)-2(0,1,1)=(1,0,-3)\) ✔ pertenece al subespacio generado.

Interpretación. El subespacio es un plano que pasa por el origen dentro de \(\mathbb R^3\): los tres vectores de partida no eran independientes, así que no generan todo el espacio.

1 · Matriz. \(T(1,0,0)=(1,0)\); \(T(0,1,0)=(-1,1)\); \(T(0,0,1)=(0,-1)\). Como columnas:

\[[T]=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}\]

Es \(2\times3\): 2 filas (llegada) y 3 columnas (partida) ✔

2 · Núcleo. \(T(x,y,z)=(0,0)\Rightarrow\begin{cases}x-y=0\\ y-z=0\end{cases}\Rightarrow x=y=z\). Con \(x=t\): \(\operatorname{Nu}(T)=\{(t,t,t):t\in\mathbb R\}\). Una base es \(\{(1,1,1)\}\) y \(\operatorname{nul}(T)=1\): es una recta por el origen.

3 · Imagen. ¿Se alcanza cualquier \((a,b)\in\mathbb R^2\)? Tomando \(z=0\), \(y=b\), \(x=a+b\): \(T(a+b,\ b,\ 0)=(a+b-b,\ b-0)=(a,b)\) ✔ Entonces \(\operatorname{Im}(T)=\mathbb R^2\) y \(\operatorname{rg}(T)=2\).

4 · Teorema de la dimensión. \(\operatorname{rg}(T)+\operatorname{nul}(T)=2+1=3=\dim\mathbb R^3\) ✔

Interpretación. \(T\) «aplasta» una dirección entera (la diagonal \((1,1,1)\), donde las tres coordenadas son iguales) y conserva las otras dos. Tiene sentido: la transformación solo mide diferencias entre coordenadas, y sumarle la misma constante a las tres no cambia nada.

(a) \(\det A=2\cdot2-1\cdot1=3\neq0\) → es invertible; su rango es 2 y sus filas son LI.

(b) Autovalores. \(\det\begin{pmatrix}2-\lambda&1\\1&2-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)^2-1 =\lambda^2-4\lambda+3=(\lambda-3)(\lambda-1)\) → \(\lambda_1=3\), \(\lambda_2=1\).

Autovectores. Para \(\lambda=3\): \(\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}v=\vec0\Rightarrow y=x\) → \(v_1=(1,1)\). Verificación: \(A(1,1)=(3,3)=3(1,1)\) ✔
Para \(\lambda=1\): \(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}v=\vec0\Rightarrow y=-x\) → \(v_2=(1,-1)\). Verificación: \(A(1,-1)=(2-1,\ 1-2)=(1,-1)=1\cdot(1,-1)\) ✔

Control: \(3+1=4=\) traza ✔; \(3\cdot1=3=\det A\) ✔

(c) Ortogonalidad. \(v_1\cdot v_2=1(1)+1(-1)=0\) ✔ Son ortogonales. No es casualidad: \(A\) es simétrica (\(A=A^{T}\)) y los autovectores de una matriz simétrica asociados a autovalores distintos siempre son ortogonales. Normalizándolos se obtiene una base ortonormal de \(\mathbb R^2\): \(\left(\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\right)\) y \(\left(\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}\right)\).

(d) Interpretación geométrica. \(A\) estira el plano por un factor 3 en la dirección de la diagonal \(y=x\) y lo deja igual (factor 1) en la dirección perpendicular \(y=-x\). Un círculo se transforma en una elipse cuyo eje mayor apunta en la dirección \((1,1)\). Como ningún autovalor es 0, no se aplasta ninguna dirección: por eso el determinante (\(3=3\times1\), el producto de los autovalores) no es nulo y la matriz es invertible.

Cierre de la materia: en este único ejercicio aparecen el determinante (M2), el rango y la invertibilidad (M2 y M3), la ortogonalidad (M3), los autovalores y la interpretación de una matriz como transformación (M3). Esa es la síntesis a la que apunta la asignatura.